Convergenza assoluta di una serie trigonometrica

[Mr.Bra]

Salve

Stavo facendo degli essercizi di Analisi 1 che riguardano la convergenza delle serie, ho trovato difficoltà con questo essericizio:


- Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie.

$\sum_{n=1}^infty (cos(n*pi) * sin(1/sqrt(n)))/(sqrt(n^3) + 1 )$



La mia soluzione "sbagliata":

$\sum_{n=1}^infty (cos(n*pi) * sin(1/sqrt(n)))/(sqrt(n^3) + 1 ) ~~ sum_{n=1}^infty (cos(n*pi) *(1/sqrt(n)))/(sqrt(n^3)) = sum_{n=1}^infty (cos(n*pi) /(n^2)) = sum_{n=1}^infty (-1)^n/(n^2) = sum_{n=1}^infty (-1)^n * (1/(n^2)) $

$(1/(n^2)) $ è la serie armonica quindi converge assolutamente, e per il criterio del confronto asintotico la serie converge anche semplicemente.

Ho fatto controlare la mia soluzione dal mio professore, è mi ha detto che è incorretto, penso che sia incorretto quasi tutto

Scusate per il mio Italiano e la mia ingnoranza con le mats.


Grazie in anticipo.

[anto_zoolander]

intanto $cos(n*pi)=(-1)^n$ abbastanza semplicemente

$|((-1)^n sin(1/sqrt(n)))/(sqrt(n^3)+1)|leq|1/(sqrt(n^3)+1)|=1/(n^(3/2)+1)approx1/(n^(3/2))$

converge assolutamente, quindi converge semplicemente.

[Ernesto011]

Il tuo ragionamento è giusto, ma quel simbolo $\approx$ fra le due serie non vuol dire niente.
Al limite puoi metterlo tra i termini delle due serie, ma senza la sommatoria.

[Mr.Bra]

"Ernesto01":Il tuo ragionamento è giusto, ma quel simbolo $\approx$ fra le due serie non vuol dire niente.
Al limite puoi metterlo tra i termini delle due serie, ma senza la sommatoria.

Forse ho confuso quell simbolo con quello dell'equivalenza asintotica ~?
Può andare bene se metto il simbolo ~? Invece di ~~?

[Ernesto011]

Non va bene lo stesso, è proprio il concetto ad essere sbagliato. Per parlare di equivalenza asintotica ci deve essere un limite.

[Mr.Bra]

"Ernesto01":Non va bene lo stesso, è proprio il concetto ad essere sbagliato. Per parlare di equivalenza asintotica ci deve essere un limite.

Quindi invece del ~ dovrei mettere un = ?