Convergenza assoluta di una serie e integrale improprio
Salve a tutti!
Mi sono imbattuto in questa domanda: mostrare che legame intercorre tra convergenza assoluta di una serie ed integrale improprio.
Allora:
CRITERIO DELL'INTEGRALE
Sia $ sum_(n = 1)^(+oo)a(n) $ una serie a termini non negativi ed esista una funzione $ f:[1,+oo [rarr cc(RR) $ continua, non negativa, decrescente, tale che $ f(n)=a(n) $, $ AA n in NN $. Allora $ sum_(n = 1)^(+oo)a(n) $ converge se e solo se $ int_(1)^(+oo ) f(x)dx $ converge.
CONVERGENZA ASSOLUTA
Data la serie $ sum a(n) $, essa si dice assolutamente convergente se $ sum |a(n)| $ è convergente.
Data la serie $ sum a(n) $, se è assolutamente convergente allora è anche semplicemente convergente.
Fin qua dovrebbe essere tutto giusto: correggetemi se sbaglio.
Il mio libro di analisi, però, non mi dà alcun tipo di collegamento tra convergenza assoluta di una serie ed integrale improprio. Infatti, tra i vari tipi di criteri per la convergenza assoluta di una serie risultano solo quello dell'ordine di infinitesimo, quello della radice e quello del rapporto.
Qualcuno riesce a spiegarmi qual è la risposta corretta alla domanda?
Ringrazio anticipatamente!
Mi sono imbattuto in questa domanda: mostrare che legame intercorre tra convergenza assoluta di una serie ed integrale improprio.
Allora:
CRITERIO DELL'INTEGRALE
Sia $ sum_(n = 1)^(+oo)a(n) $ una serie a termini non negativi ed esista una funzione $ f:[1,+oo [rarr cc(RR) $ continua, non negativa, decrescente, tale che $ f(n)=a(n) $, $ AA n in NN $. Allora $ sum_(n = 1)^(+oo)a(n) $ converge se e solo se $ int_(1)^(+oo ) f(x)dx $ converge.
CONVERGENZA ASSOLUTA
Data la serie $ sum a(n) $, essa si dice assolutamente convergente se $ sum |a(n)| $ è convergente.
Data la serie $ sum a(n) $, se è assolutamente convergente allora è anche semplicemente convergente.
Fin qua dovrebbe essere tutto giusto: correggetemi se sbaglio.
Il mio libro di analisi, però, non mi dà alcun tipo di collegamento tra convergenza assoluta di una serie ed integrale improprio. Infatti, tra i vari tipi di criteri per la convergenza assoluta di una serie risultano solo quello dell'ordine di infinitesimo, quello della radice e quello del rapporto.
Qualcuno riesce a spiegarmi qual è la risposta corretta alla domanda?
Ringrazio anticipatamente!
Risposte
Il criterio dell'integrale per le serie dovrebbe darti anche una stima... Una cosa del genere (a meno di errori con gli indici):
$[ \sum_(n=1)^(oo) a_n ] - a_1 <= \int_1^(+oo) f(x) dx <= \sum_(n=1)^(oo) a_n$
Prova a vedere se può esserti utile...
$[ \sum_(n=1)^(oo) a_n ] - a_1 <= \int_1^(+oo) f(x) dx <= \sum_(n=1)^(oo) a_n$
Prova a vedere se può esserti utile...
Ad ogni modo non ho capito bene qual è la domanda in questione. Potresti spiegare sostanzialmente cosa vuoi palesare?
Se non sbaglio, la disuguaglianza che hai scritto posso vederla anche in questo modo:
$ sum_(n = 2)^(oo)a(n)leq int_(1)^(+oo ) f(x)dx leq sum_(n = 1)^(oo)a(n) $
Per quanto riguarda la domanda, è questa:
mostrare che legame intercorre tra convergenza assoluta di una serie ed integrale improprio.
$ sum_(n = 2)^(oo)a(n)leq int_(1)^(+oo ) f(x)dx leq sum_(n = 1)^(oo)a(n) $
Per quanto riguarda la domanda, è questa:
mostrare che legame intercorre tra convergenza assoluta di una serie ed integrale improprio.
"nicooo89":
mostrare che legame intercorre tra convergenza assoluta di una serie ed integrale improprio.
Beh, sì, quello l'avevo letto. Non puoi essere più chiaro?
Questa è stata la risposta del prof quando abbiamo chiesto spiegazioni: "Tanto l'esame ce l'avete voi, non io!"... 
"nicooo89":
Questa è stata la risposta del prof quando abbiamo chiesto spiegazioni: "Tanto l'esame ce l'avete voi, non io!"...
Allora non saprei darti una mano...
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