Convergenza assoluta di una serie
Valutare la convergenza assoluta della serie
$\sum_{n=1}^oo (2sin^3(2n) * cos(n^2) * log (n))/ (n^2 + n * 2^(-n))$
Noto subito che il denominatore è positivo, però al numeratore essendoci il seno e il coseno, è di segno variabile.
Il seno e il coseno sono sempre compresi nell'intervallo tra -1 e 1. Di conseguenza se chiamo $an$ tutto ciò che c'è all'interno della sommatoria ho:
$|an| = (2log (n))/ (n^2 + n * 2^(-n)) * |(sin^3(2n))| * |cos(n^2)|$
Però come ho detto in precedenza il seno e il coseno sono compresi tra l'intervallo -1 e 1 di conseguenza ho che il valore assoluto sia del seno e del coseno che sono minori uguali di 1
Quindi :
$|an| <= (2log (n))/ (n^2 + n * 2^(-n))$
Quindi studio:
$\sum_{n=1}^oo (2log (n))/ (n^2 + n * 2^(-n))$
Chiamo $bn$ ciò che c'è all'interno della sommatoria..
Facendo il limite per n tendente all'infinito ottengo che il limite fa zero e di conseguenza vale la condizione necessaria per convergenza.
Però ora mi sono bloccato e non riesco più a proseguire, qualcuno potrebbe darmi una mano?
$\sum_{n=1}^oo (2sin^3(2n) * cos(n^2) * log (n))/ (n^2 + n * 2^(-n))$
Noto subito che il denominatore è positivo, però al numeratore essendoci il seno e il coseno, è di segno variabile.
Il seno e il coseno sono sempre compresi nell'intervallo tra -1 e 1. Di conseguenza se chiamo $an$ tutto ciò che c'è all'interno della sommatoria ho:
$|an| = (2log (n))/ (n^2 + n * 2^(-n)) * |(sin^3(2n))| * |cos(n^2)|$
Però come ho detto in precedenza il seno e il coseno sono compresi tra l'intervallo -1 e 1 di conseguenza ho che il valore assoluto sia del seno e del coseno che sono minori uguali di 1
Quindi :
$|an| <= (2log (n))/ (n^2 + n * 2^(-n))$
Quindi studio:
$\sum_{n=1}^oo (2log (n))/ (n^2 + n * 2^(-n))$
Chiamo $bn$ ciò che c'è all'interno della sommatoria..
Facendo il limite per n tendente all'infinito ottengo che il limite fa zero e di conseguenza vale la condizione necessaria per convergenza.
Però ora mi sono bloccato e non riesco più a proseguire, qualcuno potrebbe darmi una mano?
Risposte
Prova a usare il fatto che definitivamente un logaritmo è maggiorato da qualsiasi potenza positiva di $n$...
$log(n)/(n^2 + n2^{-n})$ va a zero come $log(n)/n^2$ per $n \to + \infty$.
A questo punto puoi provare con il criterio di condensazione...
A questo punto puoi provare con il criterio di condensazione...
Ciao Matte,
Facendo tesoro di buona parte dei suggerimenti di tutti coloro che mi hanno preceduto, io farei così:
$\sum_{n=1}^{+\infty} frac{2\log (n)}{n^2 + n \cdot 2^{-n}} \le \sum_{n=1}^{+\infty} frac{2sqrt{n}}{n^2} = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^{3/2}}$
L'ultima scritta è la famosa serie armonica generalizzata con $\alpha = frac{3}{2} > 1$ che è convergente.
Facendo tesoro di buona parte dei suggerimenti di tutti coloro che mi hanno preceduto, io farei così:
$\sum_{n=1}^{+\infty} frac{2\log (n)}{n^2 + n \cdot 2^{-n}} \le \sum_{n=1}^{+\infty} frac{2sqrt{n}}{n^2} = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} frac{1}{n^{3/2}}$
L'ultima scritta è la famosa serie armonica generalizzata con $\alpha = frac{3}{2} > 1$ che è convergente.
Ciao a tutti! Ho appena seguito il consiglio di @Seneca e mi sono trovato bene, ho applicato il criterio della radice n-esima, per poi riuscire ad applicare il criterio di condensazione.
@pilloeffe ho capito il tuo procedimento e mi sembra molto più rapido, però ho un dubbio, secondo me abbastanza banale, il fatto che la prima sommatoria in cui è presente il logaritmo è $<=$ della sommatoria in cui il logaritmo è sostituito da $sqrt(n)$. Correggimi se sbaglio.. praticamente tu hai applicato il consiglio di @Bremen000 in cui ha detto di sostituire il logaritmo con qualsiasi potenza di n, perchè comunque il logaritmo è sempre meno 'potente' di qualsiasi altro esponenziale di n. E infine al denominatore hai trascurato $n * 2^(-n)$ perchè è zero visto che tende a $+oo$
Poi vabbeh, il resto del procedimento l'ho capito
@pilloeffe ho capito il tuo procedimento e mi sembra molto più rapido, però ho un dubbio, secondo me abbastanza banale, il fatto che la prima sommatoria in cui è presente il logaritmo è $<=$ della sommatoria in cui il logaritmo è sostituito da $sqrt(n)$. Correggimi se sbaglio.. praticamente tu hai applicato il consiglio di @Bremen000 in cui ha detto di sostituire il logaritmo con qualsiasi potenza di n, perchè comunque il logaritmo è sempre meno 'potente' di qualsiasi altro esponenziale di n. E infine al denominatore hai trascurato $n * 2^(-n)$ perchè è zero visto che tende a $+oo$
Poi vabbeh, il resto del procedimento l'ho capito
Ciao Matte,
E' vero che l'esponenziale tende a $0$ per $n \to +\infty$, ma il ragionamento è diverso: se in una frazione sostituisci il denominatore (divisore) con qualcosa di "più piccolo" (in questo caso eliminando proprio il termine esponenziale) la frazione sarà maggiore:
$frac{2\log (n)}{n^2 + n \cdot 2^{-n}} \le frac{2sqrt{n}}{n^2}$
Questa diseguaglianza vale $\AA n \ge 1$
"Matte":
praticamente tu hai applicato il consiglio di @Bremen000 in cui ha detto di sostituire il logaritmo con qualsiasi potenza di n, perchè comunque il logaritmo è sempre meno 'potente' di qualsiasi altro esponenziale di n.
"Matte":
al denominatore hai trascurato $n⋅2^{−n}$ perché è zero visto che tende a $+\infty$
E' vero che l'esponenziale tende a $0$ per $n \to +\infty$, ma il ragionamento è diverso: se in una frazione sostituisci il denominatore (divisore) con qualcosa di "più piccolo" (in questo caso eliminando proprio il termine esponenziale) la frazione sarà maggiore:
$frac{2\log (n)}{n^2 + n \cdot 2^{-n}} \le frac{2sqrt{n}}{n^2}$
Questa diseguaglianza vale $\AA n \ge 1$
Grazie mille!! 
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