Convergenza agli estremi della serie binomiale
Mi sono imbattuto in questa affermazione:
la serie di Taylor di [tex](1+t)^{\alpha}[/tex], ovvero
\[\sum_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} \alpha \\ k \end{pmatrix} t^k\],
converge uniformemente su [tex][-1, 1][/tex] se [tex]\alpha > 0[/tex].
E' chiaro che si tratta di una applicazione del teorema di Abel, ma come si dimostra... Qualche idea? Mi imbroglio paurosamente con quel coefficiente binomiale. Precisamente il caso che mi interessa è per [tex]\alpha=1/2[/tex].
la serie di Taylor di [tex](1+t)^{\alpha}[/tex], ovvero
\[\sum_{k=0}^\infty \begin{pmatrix} \alpha \\ k \end{pmatrix} t^k\],
converge uniformemente su [tex][-1, 1][/tex] se [tex]\alpha > 0[/tex].
E' chiaro che si tratta di una applicazione del teorema di Abel, ma come si dimostra... Qualche idea? Mi imbroglio paurosamente con quel coefficiente binomiale. Precisamente il caso che mi interessa è per [tex]\alpha=1/2[/tex].
Risposte
Puoi applicare il criterio di Raabe; posto [tex]a_k = |\begin{pmatrix}\alpha \\ k \end{pmatrix}|[/tex] hai che esiste
$\lim_k k (\frac{a_k}{a_{k+1}} - 1) = \alpha + 1$.
Dunque, se $\alpha > 0$ la serie $\sum a_k$ converge, mentre per $\alpha < 0$ diverge.
(Nel caso in cui il limite vale $1$ il criterio di Raabe non permette di concludere niente, ma in questo caso ha poco interesse.)
$\lim_k k (\frac{a_k}{a_{k+1}} - 1) = \alpha + 1$.
Dunque, se $\alpha > 0$ la serie $\sum a_k$ converge, mentre per $\alpha < 0$ diverge.
(Nel caso in cui il limite vale $1$ il criterio di Raabe non permette di concludere niente, ma in questo caso ha poco interesse.)
Il criterio di Raabe! Certo che ne sai una più del diavolo, Rigel. 
Ma no, è che questo è uno dei pochi casi in cui ho visto applicare quel criterio con un qualche senso.
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