Convergenza ad infinito e convergenza lungo le semirette
Diciamo che una funzione [tex]f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/tex] converge ad [tex]l \in \mathbb{R}[/tex] ad infinito ([tex]\lim_{x \to \infty} f(x)=l[/tex]) se per ogni [tex]\varepsilon>0[/tex] esiste [tex]R>0[/tex] tale che
[tex]$|x|\ge R \Rightarrow \lvert f(x) - l \rvert \le \varepsilon.[/tex]
Ora una proposizione che ho visto usare implicitamente più volte: [tex]f[/tex] converge ad [tex]l[/tex] ad infinito se e solo se per ogni [tex]0 \ne v \in \mathbb{R}^n[/tex] risulta
[tex]$ \lim_{r \to +\infty} f(rv)=l[/tex].
Beh però questo non mi pare proprio ovvio. E' vero? A naso direi che sarà falso in uno spazio di dimensione infinita come ad esempio [tex]\ell^2[/tex], quindi se è vero deve fare uso in qualche modo della compattezza locale di [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. E resta vero se [tex]l=\pm \infty[/tex]?
P.S.: Infatti mi sa che è falso. Per esempio la funzione di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] in [tex]\mathbb{R}[/tex] espressa in coordinate polari da
[tex]$f(r, \theta)=\frac{\theta+ \pi}{\theta - \pi}\frac{1}{r}[/tex]
mi pare fornisca un controesempio valido, perché la [tex]R[/tex] diventa sempre più grande man mano che [tex]\theta[/tex] va da [tex]-\pi[/tex] verso [tex]+\pi[/tex]. Tuttavia questa non è una funzione continua. Se [tex]f[/tex] è continua la proposizione è vera?
[tex]$|x|\ge R \Rightarrow \lvert f(x) - l \rvert \le \varepsilon.[/tex]
Ora una proposizione che ho visto usare implicitamente più volte: [tex]f[/tex] converge ad [tex]l[/tex] ad infinito se e solo se per ogni [tex]0 \ne v \in \mathbb{R}^n[/tex] risulta
[tex]$ \lim_{r \to +\infty} f(rv)=l[/tex].
Beh però questo non mi pare proprio ovvio. E' vero? A naso direi che sarà falso in uno spazio di dimensione infinita come ad esempio [tex]\ell^2[/tex], quindi se è vero deve fare uso in qualche modo della compattezza locale di [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. E resta vero se [tex]l=\pm \infty[/tex]?
P.S.: Infatti mi sa che è falso. Per esempio la funzione di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] in [tex]\mathbb{R}[/tex] espressa in coordinate polari da
[tex]$f(r, \theta)=\frac{\theta+ \pi}{\theta - \pi}\frac{1}{r}[/tex]
mi pare fornisca un controesempio valido, perché la [tex]R[/tex] diventa sempre più grande man mano che [tex]\theta[/tex] va da [tex]-\pi[/tex] verso [tex]+\pi[/tex]. Tuttavia questa non è una funzione continua. Se [tex]f[/tex] è continua la proposizione è vera?
Risposte
In realtà quella che stai usando come definizione di convergenza all'infinito è una convergenza uniforme rispetto alla direzione delle rette: infatti stai dicendo che il numero [tex]$R$[/tex] rimane sempre lo stesso, non importa lungo quale retta te ne vai a [tex]$\infty$[/tex].
Mettiamo tutto in una forma più pulita.
Assegnata [tex]$f(x)$[/tex] è possibile determinare una funzione [tex]$\phi (r,u)$[/tex] definita in [tex]$]0,+\infty[ \times \mathbb{S}^{n-1}$[/tex] tale che:
[tex]$f(x)=\phi \left( |x|, \frac{x}{|x|}\right)$[/tex] per [tex]$x\neq o$[/tex];
dire che [tex]$\lim_{x\to \infty} f(x) =l$[/tex] secondo la tua definizione equivale a dire:
[tex]$\text{$\lim_{r\to +\infty} \phi (r,u)=l$ uniformemente ripetto ad $u\in \mathbb{S}^{n-1}$}$[/tex].
Mettiamo tutto in una forma più pulita.
Assegnata [tex]$f(x)$[/tex] è possibile determinare una funzione [tex]$\phi (r,u)$[/tex] definita in [tex]$]0,+\infty[ \times \mathbb{S}^{n-1}$[/tex] tale che:
[tex]$f(x)=\phi \left( |x|, \frac{x}{|x|}\right)$[/tex] per [tex]$x\neq o$[/tex];
dire che [tex]$\lim_{x\to \infty} f(x) =l$[/tex] secondo la tua definizione equivale a dire:
[tex]$\text{$\lim_{r\to +\infty} \phi (r,u)=l$ uniformemente ripetto ad $u\in \mathbb{S}^{n-1}$}$[/tex].
"dissonance":Fuori i nomi!
Ora una proposizione che ho visto usare implicitamente più volte: [tex]f[/tex] converge ad [tex]l[/tex] ad infinito se e solo se per ogni [tex]0 \ne v \in \mathbb{R}^n[/tex] risulta
[tex]$ \lim_{r \to +\infty} f(rv)=l[/tex].
No, seriamente, mi sembra strano che tu la possa averla vista usare. Per lo meno non da "fonti accreditate". Ovvio che non è vero, ovvio che (come dice gugo82) c'è di mezzo una convergenza "uniforme". Troppo scontato perché uno del mestiere, anche se per caso non lo sapesse (il che è strarno), non lo "senta" immediatamente che non può funzionare.
Beh Fioravante è una cosa che ho sentito un paio di volte in un corso di Analisi che ho frequentato lo scorso semestre. Però sopra mi sono espresso male: non è stata una proposizione centrale del corso ma più un inciso detto così, secondariamente, quindi un piccolo errore del professore ci può scappare.
Oppure posso essere stato io a non capire bene, il che è certo più probabile: sicuramente aggiungendo qualche ipotesi su $f$ la cosa diventa vera. Per esempio, se $f$ è uniformemente continua, è vero? E se $f$ è solo continua?
Oppure posso essere stato io a non capire bene, il che è certo più probabile: sicuramente aggiungendo qualche ipotesi su $f$ la cosa diventa vera. Per esempio, se $f$ è uniformemente continua, è vero? E se $f$ è solo continua?
Ok, niente delazioni 
Ti rispondo "a naso", per sottolineare quanto dicevo nel post precedente: è una questione di feeling. Il mio naso mi dice di no. La uniforme continuità la escludo: posso controllare gli scostamenti di una funzione ma solo in "piccole palline". Qui si va molto lontano, da tutte le parti! Cosa controllo? Naah! Ergo, manco la continuità.
"dissonance":
Per esempio, se $f$ è uniformemente continua, è vero? E se $f$ è solo continua?
Ti rispondo "a naso", per sottolineare quanto dicevo nel post precedente: è una questione di feeling. Il mio naso mi dice di no. La uniforme continuità la escludo: posso controllare gli scostamenti di una funzione ma solo in "piccole palline". Qui si va molto lontano, da tutte le parti! Cosa controllo? Naah! Ergo, manco la continuità.
Temo FP abbia ragione.
Ad esempio, definiamo [tex]$h:\mathbb{R}\to [0,+\infty[$[/tex] come segue:
[tex]$h(t):=\begin{cases} \sin \pi t &\text{, se $0\leq t\leq 1$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex]
e, per [tex]$(r,\theta) \in [0,+\infty[\times ]-\pi, \pi]$[/tex], poniamo:
[tex]$\phi (r,\theta):= h\left( \tfrac{\pi^2 -\theta^2}{\pi} r-2\right)$[/tex]
e sia [tex]$f(x)$[/tex] la funzione di [tex]$\mathbb{R}^2\to [0,+\infty[$[/tex] definita in coordinate polari da [tex]$\phi (r,\theta)$[/tex].
La funzione [tex]$f(x)$[/tex] è continua in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], perchè [tex]$\phi (r,\theta)$[/tex] è continua in [tex]$[0,+\infty[\times ]-\pi ,\pi]$[/tex], ed evidentemente, fissata un'anomalia [tex]$\bar{\theta} \in ]-\pi ,\pi]$[/tex], si ha:
[tex]$\lim_{x\to \infty,\ \text{arg} x=\bar{\theta}} f(x) = \lim_{r\to +\infty} \phi (r,\bar{\theta})=0$[/tex];
tuttavia il limite non è affatto uniforme rispetto a [tex]$\theta$[/tex]: infatti, quando [tex]$\theta \to \pm \pi^{\mp}$[/tex] il grafico di [tex]$r\mapsto \phi (r,\theta)$[/tex], che è per costruzione una funzione in [tex]$C_c([0,+\infty[)$[/tex], presenta una "gobba" che se ne va a [tex]$+\infty$[/tex].
Per visualizzare il grafico della funzione in questione, puoi usare questo script per Mathematica:
che diagramma il grafico della restrizione di [tex]$f(x)$[/tex] al semipiano [tex]$x_2\geq 0$[/tex].
Ad esempio, definiamo [tex]$h:\mathbb{R}\to [0,+\infty[$[/tex] come segue:
[tex]$h(t):=\begin{cases} \sin \pi t &\text{, se $0\leq t\leq 1$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex]
e, per [tex]$(r,\theta) \in [0,+\infty[\times ]-\pi, \pi]$[/tex], poniamo:
[tex]$\phi (r,\theta):= h\left( \tfrac{\pi^2 -\theta^2}{\pi} r-2\right)$[/tex]
e sia [tex]$f(x)$[/tex] la funzione di [tex]$\mathbb{R}^2\to [0,+\infty[$[/tex] definita in coordinate polari da [tex]$\phi (r,\theta)$[/tex].
La funzione [tex]$f(x)$[/tex] è continua in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], perchè [tex]$\phi (r,\theta)$[/tex] è continua in [tex]$[0,+\infty[\times ]-\pi ,\pi]$[/tex], ed evidentemente, fissata un'anomalia [tex]$\bar{\theta} \in ]-\pi ,\pi]$[/tex], si ha:
[tex]$\lim_{x\to \infty,\ \text{arg} x=\bar{\theta}} f(x) = \lim_{r\to +\infty} \phi (r,\bar{\theta})=0$[/tex];
tuttavia il limite non è affatto uniforme rispetto a [tex]$\theta$[/tex]: infatti, quando [tex]$\theta \to \pm \pi^{\mp}$[/tex] il grafico di [tex]$r\mapsto \phi (r,\theta)$[/tex], che è per costruzione una funzione in [tex]$C_c([0,+\infty[)$[/tex], presenta una "gobba" che se ne va a [tex]$+\infty$[/tex].
Per visualizzare il grafico della funzione in questione, puoi usare questo script per Mathematica:
h[t_] := If[0 ≤ t ≤ 1, Sin[π t], 0];
ParametricPlot3D[{r Cos[θ], r Sin[θ], h[(π^2 - θ^2)/π r - 2]}, {r, 0, π}, {θ, 0, π}, PlotPoints -> 80]che diagramma il grafico della restrizione di [tex]$f(x)$[/tex] al semipiano [tex]$x_2\geq 0$[/tex].
Per convincersene usando concetti già noti, si può osservare che $\lim_{x\to \infty} f(x) = l$ equivale a dire che $\lim_{y\to 0} f(y/|y|^2) = l$, e che andare all'infinito su una semiretta nel primo limite equivale ad andare a zero sulla medesima semiretta nel secondo.
Però! Non è cosa di tutti i giorni avere assistenza da tre grossi calibri come voi, tutti insieme!!! Il mio dubbio è completamente eliminato: stamattina ho cercato per un po' di costruire un controesempio come quello di Gugo, con una "gobba" che se ne va a $+infty$, ma senza successo. E, si, come fate notare questa è la versione all'infinito del classico fatto sulle funzioni di due variabilii: se $lim_{(x, y)\to (0,0)} f(x, y)=0$ allora $lim_{r \to 0} f(rv_1, rv_2)=0$ per ogni $(v_1, v_2)\ne (0, 0)$, ma non vale il viceversa. Chiaro come il giorno!
Tanto per proporre un ulteriore esempio...
La "solita" funzione $f(x,y) = \frac{x y^2}{x^2+y^4}$ tende a $0$ quando vai all'infinito lungo i raggi, ma il suo limite all'infinito non vale $0$, dal momento che $f(y^2, y) = 1/2$ per ogni $y\ne 0$.
La "solita" funzione $f(x,y) = \frac{x y^2}{x^2+y^4}$ tende a $0$ quando vai all'infinito lungo i raggi, ma il suo limite all'infinito non vale $0$, dal momento che $f(y^2, y) = 1/2$ per ogni $y\ne 0$.
"Rigel":E già. Quello è un controesempio che conviene proprio tenere a mente, vedo.
Tanto per proporre un ulteriore esempio...
La "solita" funzione $f(x,y) = \frac{x y^2}{x^2+y^4}$ [...]
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