Convergenza
Come trovereste la convergenza puntuale o eventualmente uniforme della successione di funzione:
fn(x)= x^n
fn(x)= x^n
Risposte
Mmm... questo e' un esempio ultra-classico!
Prova a farlo seguendo la scaletta:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=7905
Se non riesci posta tutti i passaggi che vediamo dove sbagli/ti blocchi...
Prova a farlo seguendo la scaletta:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=7905
Se non riesci posta tutti i passaggi che vediamo dove sbagli/ti blocchi...
Sono entrata di nuovo in crisi, questa maledetta convergenza mi distrugge!
Ho provato a fare un altro esercizio ma mi blocco come sempre quando vado a fare la convergenza uniforme.
L'esercizio è fn(x)=[(n^2)(x^2)/(1+(n^3)(x^3))
Mi aiuti a risolverlo, ti prego, sto impazzendo!!!
Ho trovato la convergenza puntuale perchè il lim per che tende a infinito della successione di funzione è pari a zero, quindi la successione converge puntualmente a zero per ogni x appartenete a R (vero?)
Ora però dopo che ho fatto la convergenza puntuale e vado a fare il sup mi blocco, mi aiuti?
Ho provato a fare un altro esercizio ma mi blocco come sempre quando vado a fare la convergenza uniforme.
L'esercizio è fn(x)=[(n^2)(x^2)/(1+(n^3)(x^3))
Mi aiuti a risolverlo, ti prego, sto impazzendo!!!
Ho trovato la convergenza puntuale perchè il lim per che tende a infinito della successione di funzione è pari a zero, quindi la successione converge puntualmente a zero per ogni x appartenete a R (vero?)
Ora però dopo che ho fatto la convergenza puntuale e vado a fare il sup mi blocco, mi aiuti?
Quando la mia prof. fa gli esercizi mi confonde ancora di più. La convergenza puntuale l'ho capita bene(almeno penso), ma mi confonde parecchio quella uniforme! So che ti sto annoiando con tutte queste domande, ma davvero sono disperata! Ho l'esame lunedì, e spero di capirla prima di quel giorno, perchè altrimenti non credo di andare a farlo. La cosa brutta è che ho capito tutto il resto, ma questa maledetta convergenza mi butta giù!
Ok, nn t preoccupare.
Una volta che hai la convergenza puntuale, ad esempio sai che:
$f_n(x) \to f(x)$
In pratica devi studiare il massimo (sarebbe piu' preciso dire il sup) della funzione:
$ g(x) = | f_n(x) - f(x) | $
Per farlo l'idea e' quella di annullare la derivata prima e trovare i punti stazionari (punti a tangente orizzontale) e quindi capire se si tratta di massimi o minimi.
Siccome quel modulo rompe quando si fanno i conti, si puo' anche farne a meno a patto di studiare non solo i massimi ma anche i minimi. Infatti il minimo di una quantita' che puo' essere negativa potrebbe essere un massimo per la quantita' con il modulo.
Ad esempio nella successione di numeri:
$ 1 , 2, 5, -2, 6, -12 $
Il massimo e' $6$ e il minimo e' $-12$ tuttavia il massimo dei moduli e' $12$.
Nel tuo caso la $f(x)$ e' $0$. (come capita quasi sempre) per cui devi studiare i massimi e i minimi di:
$f_n(x)$
Quindi calcola la derivata di $f_n(x)$ tenendo $n$ come parametro (pensalo fissato) e annullala:
$ f_n'(x) =( (2-n^3 x^3) n^2 x)/(1+n^3 x^3)^2 $
Si annulla in $0$ e in $2^(1/3)/n$. In $0$ non ci sono problemi per la convergenza perche' e' un punto a $x$ fissato, ovvero non dipende da $n$. Per cui lo hai tenuto gia' dentro quando hai fatto il conto con la convergenza puntuale. I problemi possono esserci in $2^(1/3)/n$. Quindi devi calcolare la $f_n$ in quel punto (sostituendo $x$) e fare il limite:
$ f_n(2^(1/3)/n) = (n^2(2^(2/3)/(n^2)))/(1+n^3(2/(n^3))) =2^(2/3)/3$
Che non tende a $0$ quindi $f_n$ NON converge uniformemente.
Il procedimento da seguire e' quindi:
1. Convergenza puntuale
2. Annulli la derivata
3. Sostituisci a $x$ l'espressione dei punti in cui la derivata si annulla e calcoli il limite.
4. Se tutti i limiti vanno a zero hai conv. uniforme altrimenti NO.
In teoria basterebbe controllare che il limite sui massimi per $g(x)$ vada a zero, ma spesso si tratta di pochi punti per cui si puo' anche fare il limite su tutti.
Questo procedimento funziona sempre purche' $g(x)$ non sia crescente all'infinito. In tal caso potrebbe accadere che non ci sia il max, ma solo il sup su $RR$. In tal caso la convergenza uniforme su tutto $RR$ e' facile che non ci sia (perche' il sup e' facile che sia $oo$), ma se ci si restringe a insiemi COMPATTI (chiusi e limitati) per Wierstrass c'e' sempre un max. Quindi se la derivata non si annulla mai nell'insieme o, nei punti in cui si annulla, si ha comunque convergenza, allora si ha convergenza sul compatto.
*** EDIT ***
Caspita nn mi sono accorto di essere stato cosi' prolisso!
Una volta che hai la convergenza puntuale, ad esempio sai che:
$f_n(x) \to f(x)$
In pratica devi studiare il massimo (sarebbe piu' preciso dire il sup) della funzione:
$ g(x) = | f_n(x) - f(x) | $
Per farlo l'idea e' quella di annullare la derivata prima e trovare i punti stazionari (punti a tangente orizzontale) e quindi capire se si tratta di massimi o minimi.
Siccome quel modulo rompe quando si fanno i conti, si puo' anche farne a meno a patto di studiare non solo i massimi ma anche i minimi. Infatti il minimo di una quantita' che puo' essere negativa potrebbe essere un massimo per la quantita' con il modulo.
Ad esempio nella successione di numeri:
$ 1 , 2, 5, -2, 6, -12 $
Il massimo e' $6$ e il minimo e' $-12$ tuttavia il massimo dei moduli e' $12$.
Nel tuo caso la $f(x)$ e' $0$. (come capita quasi sempre) per cui devi studiare i massimi e i minimi di:
$f_n(x)$
Quindi calcola la derivata di $f_n(x)$ tenendo $n$ come parametro (pensalo fissato) e annullala:
$ f_n'(x) =( (2-n^3 x^3) n^2 x)/(1+n^3 x^3)^2 $
Si annulla in $0$ e in $2^(1/3)/n$. In $0$ non ci sono problemi per la convergenza perche' e' un punto a $x$ fissato, ovvero non dipende da $n$. Per cui lo hai tenuto gia' dentro quando hai fatto il conto con la convergenza puntuale. I problemi possono esserci in $2^(1/3)/n$. Quindi devi calcolare la $f_n$ in quel punto (sostituendo $x$) e fare il limite:
$ f_n(2^(1/3)/n) = (n^2(2^(2/3)/(n^2)))/(1+n^3(2/(n^3))) =2^(2/3)/3$
Che non tende a $0$ quindi $f_n$ NON converge uniformemente.
Il procedimento da seguire e' quindi:
1. Convergenza puntuale
2. Annulli la derivata
3. Sostituisci a $x$ l'espressione dei punti in cui la derivata si annulla e calcoli il limite.
4. Se tutti i limiti vanno a zero hai conv. uniforme altrimenti NO.
In teoria basterebbe controllare che il limite sui massimi per $g(x)$ vada a zero, ma spesso si tratta di pochi punti per cui si puo' anche fare il limite su tutti.
Questo procedimento funziona sempre purche' $g(x)$ non sia crescente all'infinito. In tal caso potrebbe accadere che non ci sia il max, ma solo il sup su $RR$. In tal caso la convergenza uniforme su tutto $RR$ e' facile che non ci sia (perche' il sup e' facile che sia $oo$), ma se ci si restringe a insiemi COMPATTI (chiusi e limitati) per Wierstrass c'e' sempre un max. Quindi se la derivata non si annulla mai nell'insieme o, nei punti in cui si annulla, si ha comunque convergenza, allora si ha convergenza sul compatto.
*** EDIT ***
Caspita nn mi sono accorto di essere stato cosi' prolisso!
Grazie tantissime, ora mi è tutto chiarissimo!
Grazie , grazie , grazie!
Per quando riguarda la successione di funzione che mi hai risolto converge puntualmente per ogni x appartenente a R oppure in tutto R tranne per i valori di x che annullano il denominatore?
Mi aiuti a capire questo fatto???GRAZIE.
Sei davvero un amico! Mi hai salvato
Grazie , grazie , grazie!
Per quando riguarda la successione di funzione che mi hai risolto converge puntualmente per ogni x appartenente a R oppure in tutto R tranne per i valori di x che annullano il denominatore?
Mi aiuti a capire questo fatto???GRAZIE.
Sei davvero un amico! Mi hai salvato
Converge puntualmente in tutto $RR$, infatti i punti che annullano il denominatore DIPENDONO da $n$. Ovvero per annullare il denominatore si ha $x=g(n)$. In tal caso non ci sono problemi visto che $x$ NON puo' variare (e quindi non puo' dipendere da $n$) per la convergenza puntuale.
Il discorso sarebbe stato diverso se i valori che annullano il denominatore non dipendono da $n$...
Il discorso sarebbe stato diverso se i valori che annullano il denominatore non dipendono da $n$...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo