Convergente o divergente?
non riesco a stabilire il carattere della seguente serie:
lnk/k^2 k>=1
ho tentato tutte le strade che conosco, ma ho trovato solo casi particolari...
bah... se qualcuno mi potesse aiutare...
ciao, ubermensch
lnk/k^2 k>=1
ho tentato tutte le strade che conosco, ma ho trovato solo casi particolari...
bah... se qualcuno mi potesse aiutare...
ciao, ubermensch
Risposte
Applicando il teorema dei "fattori di convergenza" e ragionando per assurdo, la serie dovrebbe essere divergente (salvo solenni cantonate dovute al post pranzo ...).
Ciao.
Ciao.
non conosco il "teorema dei fattori di convergenza"!
gli unici strumenti che momentaneamente possiedo sono i criteri del: rapporto, infinitesimi, confronto asintotico; più le varie maggiorazioni o minorazioni.
comunque grazie lo stesso, almeno so che dovrebbe essere divergente.
ciao, ubermensch
gli unici strumenti che momentaneamente possiedo sono i criteri del: rapporto, infinitesimi, confronto asintotico; più le varie maggiorazioni o minorazioni.
comunque grazie lo stesso, almeno so che dovrebbe essere divergente.
ciao, ubermensch
Il teorema dei fattori di convergenza suona :
|b(n) - b(n+1)| converge <==>
a(n)b(n) converge; a(n) converge .
Nel nostro caso a(n) = 1/n^2 e b(n) = ln(n).
Siccomea(n) converge, se convergesse anche a(n)b(n), allora dovrebbe convergere anche |b(n) - b(n+1)| , ma ciò non è vero.
Ergo la serie dovregge divergere.
|b(n) - b(n+1)| converge <==> a(n)b(n) converge; a(n) converge .Nel nostro caso a(n) = 1/n^2 e b(n) = ln(n).
Siccome
a(n) converge, se convergesse anche a(n)b(n), allora dovrebbe convergere anche |b(n) - b(n+1)| , ma ciò non è vero.Ergo la serie dovregge divergere.
scusate ma mi sembra che si veda ad occhio che converge.
è il rapporto fra un log e un quadrato...
inoltre la funzione ln(x)/x^2 appartiene se non erro a L1 sul dominio [1,+inf), quindi è integrabile...
(spero anch'io di non prendere cantonate)
è il rapporto fra un log e un quadrato...
inoltre la funzione ln(x)/x^2 appartiene se non erro a L1 sul dominio [1,+inf), quindi è integrabile...
(spero anch'io di non prendere cantonate)
ho trovato una strada che mi era sfuggita, però mi viene convergente.
t.degli infinitesimi:
se fissato p, esiste lim n^p a(n)=l; se risulta l
+00 e p>1 allora la serie converge.
prendiamo p=3/2, allora
lim n^(3/2)lgn/n^2 = 0; quindi la serie data converge.
n->00
boh!!
ciao, ubermensch
t.degli infinitesimi:
se fissato p, esiste lim n^p a(n)=l; se risulta l
+00 e p>1 allora la serie converge.prendiamo p=3/2, allora
lim n^(3/2)lgn/n^2 = 0; quindi la serie data converge.
n->00
boh!!
ciao, ubermensch
è vero, ma è maggiore dell'integrale; quindi la convergenza dell'integrale non mi dice niente!
Sono d'accordo con Maverick.
Con l'integrale si vede subito che è convergente.
La serie blocatta a 10 milioni di termini dà :
0.937546...
Grazie a voi ho scoperto un errore nei miei appunti. Il teorema dei fattori di convergenza prevede anche che b(n) tenda a 0 , e nel nostro caso ciò non accade.
Ciao.
Con l'integrale si vede subito che è convergente.
La serie blocatta a 10 milioni di termini dà :
0.937546...
Grazie a voi ho scoperto un errore nei miei appunti. Il teorema dei fattori di convergenza prevede anche che b(n) tenda a 0 , e nel nostro caso ciò non accade.
Ciao.
scusatemi arriama e maverik, ma non vedo a cosa mi possa servire l'integrale, essendo minore della serie, la sua convergenza non mi aiuta affatto! o forse sto sbagliando io?
L'interpretazione di Ubermensch che fa uso
della t.degli infinitesimi e' giusta.
Puo' essere utile sapere che
la serie[1/(k^(p)*(ln(k))^(q))] ha le seguenti caratteristiche:
a)p>1 ,q qualunque---->converge
b)p=1,q>1------>converge
c)p<1,q qualunque---->diverge
d)p=1,q<=1----->diverge.
Il nostro ,p=2 q=-1,e' il caso (a):la serie converge.
Con Derive trovo che la somma e' 0.9374 (circa)
in accordo con arriama.
karl.
della t.degli infinitesimi e' giusta.
Puo' essere utile sapere che
la serie
[1/(k^(p)*(ln(k))^(q))] ha le seguenti caratteristiche:a)p>1 ,q qualunque---->converge
b)p=1,q>1------>converge
c)p<1,q qualunque---->diverge
d)p=1,q<=1----->diverge.
Il nostro ,p=2 q=-1,e' il caso (a):la serie converge.
Con Derive trovo che la somma e' 0.9374 (circa)
in accordo con arriama.
karl.
Nell'immagine
si vede bene (almeno spero che l'abbia inserita bene) che i rettangoli verdi di base 1 sono i termini della serie e stanno tutti sotto la curva.
Bye.
si vede bene (almeno spero che l'abbia inserita bene) che i rettangoli verdi di base 1 sono i termini della serie e stanno tutti sotto la curva.
Bye.
grazie Karl: le tue considerazioni mi serviranno sicuramente.
grazie Arriama: ho commesso un errore un pò banale: basandomi sulla dimostrazione della divergenza della serie armonica ho dedotto che l'integrale dovesse essere sempre minore, e ciò, come mi hai mostrato, non è per niente vero.
ciao, ubermensch
p.s. ti dispiacerebbe postarmi una dimostrazione di quelle proprietà?
se è lunga o se non ti va, non ti preoccupare. grazie comunque.
Modificato da - ubermensch il 07/03/2004 19:23:32
grazie Arriama: ho commesso un errore un pò banale: basandomi sulla dimostrazione della divergenza della serie armonica ho dedotto che l'integrale dovesse essere sempre minore, e ciò, come mi hai mostrato, non è per niente vero.
ciao, ubermensch
p.s. ti dispiacerebbe postarmi una dimostrazione di quelle proprietà?
se è lunga o se non ti va, non ti preoccupare. grazie comunque.
Modificato da - ubermensch il 07/03/2004 19:23:32
Le proprieta' di cui al mio post precedente si possono
provare applicando alla serie il poco usato criterio
del rapporto generalizzato che recita cosi':
|x(A(x)/A(x+1)-1)|>1--->la serie converge
|x(A(x)/A(x+1)-1)|<1--->la serie diverge
|x(A(x)/A(x+1)-1)|=1--->nulla si puo'dire.
karl.
P.S. ho usato la lettera "x" invece della lettera "k" per adeguare la scrittura al simbolo di limite che si trova negli smiles.
provare applicando alla serie il poco usato criterio
del rapporto generalizzato che recita cosi':
|x(A(x)/A(x+1)-1)|>1--->la serie converge|x(A(x)/A(x+1)-1)|<1--->la serie diverge|x(A(x)/A(x+1)-1)|=1--->nulla si puo'dire.karl.
P.S. ho usato la lettera "x" invece della lettera "k" per adeguare la scrittura al simbolo di limite che si trova negli smiles.
bene Karl. ti ringrazio ancora
ciao, ubermensch
p.s. glie n'avemo fatti quattro pure all'inter
ciao, ubermensch
p.s. glie n'avemo fatti quattro pure all'inter
La convergenza della serie proposta si può dimostrare anche applicando il criterio di Raabe, per il quale chiamando con ak il termine generale della serie e definendo…
bk= k*[a(k)/a(k+1) –1] (1)
se è…
lim k->+00 bk= h > 1 (2)
... la serie converge. Per la serie in questione è ak=ln(k)/k
per cui è…
bk=[ln(k)*(k+1)-k*ln(k+1)]/k*ln(k+1)=
=k*ln(k)/ln(k+1)– k + (2+1/k)* ln(k)/ln(k+1)
Dal momento che è lim k->+00 ln(k)/ln(k+1)=1 si deduce che è lim k->+00 bk=2 >1 e pertanto la serie è convergente. E’ facile verificare che il limite in questione è pari a 2 anche nel caso della serie con ak=1/k e pertanto si può dire che la presenza del logaritmo anche in questo caso non altera il ‘grado’ di ak.
cordiali saluti!…
lupo grigio
bk= k*[a(k)/a(k+1) –1] (1)
se è…
lim k->+00 bk= h > 1 (2)
... la serie converge. Per la serie in questione è ak=ln(k)/k
per cui è…bk=[ln(k)*(k+1)
-k*ln(k+1)]/k*ln(k+1)= =k*ln(k)/ln(k+1)– k + (2+1/k)* ln(k)/ln(k+1)
Dal momento che è lim k->+00 ln(k)/ln(k+1)=1 si deduce che è lim k->+00 bk=2 >1 e pertanto la serie è convergente. E’ facile verificare che il limite in questione è pari a 2 anche nel caso della serie con ak=1/k
e pertanto si può dire che la presenza del logaritmo anche in questo caso non altera il ‘grado’ di ak. cordiali saluti!…
lupo grigio
Ciao lupo grigio, premetto che non conoscevo il criterio di Raabe, ma è simile a quello scritto da karl, nel suo c'è un modulo in più. Quindi la tua vale anche per
se è…
lim k->+00 bk= h < 1 (2)
... la serie converge.
guisto?
WonderP.
se è…
lim k->+00 bk= h < 1 (2)
... la serie converge.
guisto?
WonderP.
ciao WonderP
ti ringrazio per avermi segnalato il postato di Karl che ad essere sincero mi era sfuggito. Per prima cosa tu e gli altri amici dovreste sapere che, ahimè, i vent’anni per me sono passati da un pezzo [altrimenti non mi chiamerei ‘grigio’…] e così può essere che da allora il linguaggio matematico sia cambiato. Così può essere benissimo che quello che per me era il ‘criterio di Raabe’ [presumo dal nome del suo ideatore…] nel frattempo sia divenuto il ‘criterio del rapporto generalizzato’. Nell’enunciato di Karl tuttavia c’è un punto che mi lascia un poco perplesso che ora illustrerò. La definizione del criterio di Raabe che si trova nel mio testo di università à la seguente…
Sia data la serie a termini positivi con termine generale a(n) si consideri la successione b(n) definita come…
b(n)= n*[a(n)/a(n+1)-1] (1)
Se per tutti gli interi n>=1 esiste un intero h>1 in modo che sia b(n)>=h>1 la serie è convergente. Se invece per tutti gli interi n>=1 è b(n)<=1 la serie è divergente.
Pertanto non dovrebbe sussistere il caso ambiguo che compare nell’enunciato di Karl. Oppure la cosa dipende dal modulo?… Oppure sono io che sbaglio?…
cordiali saluti!…
lupo grigio
ti ringrazio per avermi segnalato il postato di Karl che ad essere sincero mi era sfuggito. Per prima cosa tu e gli altri amici dovreste sapere che, ahimè, i vent’anni per me sono passati da un pezzo [altrimenti non mi chiamerei ‘grigio’…] e così può essere che da allora il linguaggio matematico sia cambiato. Così può essere benissimo che quello che per me era il ‘criterio di Raabe’ [presumo dal nome del suo ideatore…] nel frattempo sia divenuto il ‘criterio del rapporto generalizzato’. Nell’enunciato di Karl tuttavia c’è un punto che mi lascia un poco perplesso che ora illustrerò. La definizione del criterio di Raabe che si trova nel mio testo di università à la seguente…
Sia data la serie a termini positivi con termine generale a(n) si consideri la successione b(n) definita come…
b(n)= n*[a(n)/a(n+1)-1] (1)
Se per tutti gli interi n>=1 esiste un intero h>1 in modo che sia b(n)>=h>1 la serie è convergente. Se invece per tutti gli interi n>=1 è b(n)<=1 la serie è divergente.
Pertanto non dovrebbe sussistere il caso ambiguo che compare nell’enunciato di Karl. Oppure la cosa dipende dal modulo?… Oppure sono io che sbaglio?…
cordiali saluti!…
lupo grigio
Ecco una spiegazione un po' + semplice:
lnk/k^2 <= (k^1/2)/k^2 per ogni k>e
quindi semplificando
lnk/k^2 <= 1/(k^3/2) che è una serie armonica generalizzata con a>1 quindi convergente.
Infine per il teorema del confronto poichè converge la maggiorante converge anche la minorante!
lnk/k^2 <= (k^1/2)/k^2 per ogni k>e
quindi semplificando
lnk/k^2 <= 1/(k^3/2) che è una serie armonica generalizzata con a>1 quindi convergente.
Infine per il teorema del confronto poichè converge la maggiorante converge anche la minorante!
Nel precedente post ho commesso un piccolo errore, ma quando mi sono accorto di averlo fatto ero già sotto le coperte, quindi lo correggo oggi. La mia domanda era (ed è):
se è…
lim k->+00 bk= h < - 1 (2)
... la serie converge.
(avevo distrattamente dimenticato il segno -)
cioè 'sto modulo è 'na novità o no?
WonderP.
P.S. beato te che sei lupo GRIGIO, io al massimo diventerò lupo spelacchiato
Modificato da - WonderP il 09/03/2004 13:08:38
se è…
lim k->+00 bk= h < - 1 (2)
... la serie converge.
(avevo distrattamente dimenticato il segno -)
cioè 'sto modulo è 'na novità o no?
WonderP.
P.S. beato te che sei lupo GRIGIO, io al massimo diventerò lupo spelacchiato
Modificato da - WonderP il 09/03/2004 13:08:38
caro WonderP
vediamo se è possibile un poco chiarirci le idee. Premettiamo innanzitutto che il discorso si intende limitato alle sole serie a termini positivi dal momento che per le serie a soli termini negativi valgono in pratica considerazioni del tutto analoghe e per le serie a termini alterati il criterio di convergenza è diverso e assai più semplice. In quatto caso occorre ricordare che condizione necessaria per la convergenza della serie è che sia lim n->+00 a(n)=0, e questo in casi ‘normali’ significa che a(n)> a(n+1) col che risulta per ogni n>0…
b(n)= n*[a(n)/a(n+1)-1] > 0 (1)
E’ evidente pertanto che con le premesse fatte le b(n) sono sempre positive e quindi la limitazione relativa al modulo non è necessaria. Il punto che mi lascia dubbioso in quanto affermato da Karl è in realtà un altro e si riferisce al caso in cui a partire da un certo n si ha b(n)<=1. E’ mio parere infatti che in tal caso la serie sia sempre divergente e per questo supponiamo che al limite sia sempre b(n)=1. In tal caso è facile vedere che vale la formula ricorsiva…
a(n+1)=a(n)*n/(n+1) (2)
… la quale posto a(1)=x con x>0 ha per sviluppo…
a(2)=x/2, a(3)=x/3,…,a(n)=x/n, … (3)
… per cui la serie vale
S= x*(1+1/2+1/3+…+1/n…) (4)
… la quale è noto essere divergente.
cordiali saluti!…
lupo grigio
vediamo se è possibile un poco chiarirci le idee. Premettiamo innanzitutto che il discorso si intende limitato alle sole serie a termini positivi dal momento che per le serie a soli termini negativi valgono in pratica considerazioni del tutto analoghe e per le serie a termini alterati il criterio di convergenza è diverso e assai più semplice. In quatto caso occorre ricordare che condizione necessaria per la convergenza della serie è che sia lim n->+00 a(n)=0, e questo in casi ‘normali’ significa che a(n)> a(n+1) col che risulta per ogni n>0…
b(n)= n*[a(n)/a(n+1)-1] > 0 (1)
E’ evidente pertanto che con le premesse fatte le b(n) sono sempre positive e quindi la limitazione relativa al modulo non è necessaria. Il punto che mi lascia dubbioso in quanto affermato da Karl è in realtà un altro e si riferisce al caso in cui a partire da un certo n si ha b(n)<=1. E’ mio parere infatti che in tal caso la serie sia sempre divergente e per questo supponiamo che al limite sia sempre b(n)=1. In tal caso è facile vedere che vale la formula ricorsiva…
a(n+1)=a(n)*n/(n+1) (2)
… la quale posto a(1)=x con x>0 ha per sviluppo…
a(2)=x/2, a(3)=x/3,…,a(n)=x/n, … (3)
… per cui la serie vale
S= x*(1+1/2+1/3+…+1/n…) (4)
… la quale è noto essere divergente.
cordiali saluti!…
lupo grigio
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