Convergenta totale
Dire se le serie convergono totalmente sugli insieme indicati:
1) $ sum_(k = 0)^∞ (senx)^k $ in $[0, pi/4]$
2) $ sum_(k = 0)^∞ ke^(kx) $ in $[-2,-1]$
3) $ sum_(k = 0)^∞ x/k^2*e^(kx)/(1+e^(kx)) $ in $[1,3]$
Allora innanzitutto, la convergenza totale si ha quando la serie della norma infinito è convergente e quindi devo vedere se la serie dei sup converga o meno, giusto?. Inizio col primo:
1: Il seno nell'intervallo $[0,pi/4]$ è una funzione crescente e quindi il sup della funzione coincide col massimo della funzione nell'intervallo che è proprio $ (sqrt(2)/2)^k $. Questa per confronto con la serie geometrica converge e quindi ho convergenza totale nell'intervallo.
2: Qua faccio la stessa considerazione e trovo che il sup è $k/e^k$. Uso il criterio della radice e trovo che converge nell'intervallo.
3: Ecco qui la cosa è un pò più differente, per trovare il sup della funzione come proseguo?..derivo la funzione e ne studio il segno nell'intervallo considerato?
1) $ sum_(k = 0)^∞ (senx)^k $ in $[0, pi/4]$
2) $ sum_(k = 0)^∞ ke^(kx) $ in $[-2,-1]$
3) $ sum_(k = 0)^∞ x/k^2*e^(kx)/(1+e^(kx)) $ in $[1,3]$
Allora innanzitutto, la convergenza totale si ha quando la serie della norma infinito è convergente e quindi devo vedere se la serie dei sup converga o meno, giusto?. Inizio col primo:
1: Il seno nell'intervallo $[0,pi/4]$ è una funzione crescente e quindi il sup della funzione coincide col massimo della funzione nell'intervallo che è proprio $ (sqrt(2)/2)^k $. Questa per confronto con la serie geometrica converge e quindi ho convergenza totale nell'intervallo.
2: Qua faccio la stessa considerazione e trovo che il sup è $k/e^k$. Uso il criterio della radice e trovo che converge nell'intervallo.
3: Ecco qui la cosa è un pò più differente, per trovare il sup della funzione come proseguo?..derivo la funzione e ne studio il segno nell'intervallo considerato?
Risposte
"DarylDixon":
3: Ecco qui la cosa è un pò più differente, per trovare il sup della funzione come proseguo?..derivo la funzione e ne studio il segno nell'intervallo considerato?
si..devi fare così, devi derivare rispetto alla variabile $x$ tutti gli altri, sono costanti.. per aiutarti e per non confonderti..metti un numero al loro posto..tipo per esempio $2$, io faccio così.. almeno non mi confondo e non sbaglio nulla.. ah certo dopo quel 2 che ho messo, lo risostituisco con la costante di prima..
poi fai il classico studio di funzione,..i massimi e i minimi..
Ok, quindi derivo rispetto alla x e studio il segno della derivata in quell'intervallo considerato..Grazie mille per l'aiuto, dopo provo 
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