Conv. uniforme serie
ciao a tutti,
detesto le serie, ma mi tocca farci spesso i conti.
della serie che vi propongo qui, devo stabilire il dominio di x entro il quale converge uniformemente:
[tex]\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}[/tex]
un teorema afferma che se una serie converge totalmente allora converge anche uniformemente.
usando quindi la norma uniforme ([tex]||g|| = sup_x (g(x))[/tex]), osservo che:
[tex]\sum || \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} || = \sum \frac{x_M^{2n}}{n!}[/tex]
dove con $x_M$ indico l'estremo superiore dei valori che x può assumere.
se l'ultima serie converge in un dominio $A$, alla la serie originale converge totalmente (in quel dominio) e quindi anche uniformemente (in $A$).
la mia ignoranza mi fa dire che l'ultima serie a destra converge $\forall x \in (-x_M; x_M), x_M<+\infty$, dico bene?
è anche corretto affermare che NON converge totalmente in $x \in (-\infty; \infty)$?
grazie in anticipo per le risposte
detesto le serie, ma mi tocca farci spesso i conti.
della serie che vi propongo qui, devo stabilire il dominio di x entro il quale converge uniformemente:
[tex]\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}[/tex]
un teorema afferma che se una serie converge totalmente allora converge anche uniformemente.
usando quindi la norma uniforme ([tex]||g|| = sup_x (g(x))[/tex]), osservo che:
[tex]\sum || \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} || = \sum \frac{x_M^{2n}}{n!}[/tex]
dove con $x_M$ indico l'estremo superiore dei valori che x può assumere.
se l'ultima serie converge in un dominio $A$, alla la serie originale converge totalmente (in quel dominio) e quindi anche uniformemente (in $A$).
la mia ignoranza mi fa dire che l'ultima serie a destra converge $\forall x \in (-x_M; x_M), x_M<+\infty$, dico bene?
è anche corretto affermare che NON converge totalmente in $x \in (-\infty; \infty)$?
grazie in anticipo per le risposte
Risposte
Hai provato a fare la sostituzione $x^2=y$ e a vedere quella serie come serie di potenze di questo tipo:
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n/(n!)y^n$ e quindi magari studiare l'intervallo di convergenza con i vari criteri relativi alle serie di potenze?
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n/(n!)y^n$ e quindi magari studiare l'intervallo di convergenza con i vari criteri relativi alle serie di potenze?
Se per l'ultima serie a destra intendi $\sum \frac{x_M^{2n}}{n!} $ puoi dire che converge per ogni $x_M \in \mathbb R$.
Per tornare alla serie di funzioni hai la convergenza totale su $[-x_M,x_M]$ quindi uniforme.
Per parlare di convergenza totale fai riferimento ad una norma. Nel nostro caso questa norma non è definita per le potenze che vai a sommare se come dominio prendi tutto $\mathbb R$ quindi penso non sia molto significativo porsi la domanda.
Per tornare alla serie di funzioni hai la convergenza totale su $[-x_M,x_M]$ quindi uniforme.
Per parlare di convergenza totale fai riferimento ad una norma. Nel nostro caso questa norma non è definita per le potenze che vai a sommare se come dominio prendi tutto $\mathbb R$ quindi penso non sia molto significativo porsi la domanda.
@lorin: in realtà... no.
incredibile dictu, ma sulle serie ci è richiesto relativamente poco da sapere. gli unici criteri che conosco sono:
- maggiorare la serie e studiare la convergenza di quest'ultima
- criterio della radice n-esima
- criterio del rapporto
per studiare la convergenza uniforme, l'unico "criterio" di cui dispongo è il teorema citato prima (conv. totale => conv. uniforme).
nel caso in questione io so che una serie del tipo $\frac{x^n}{n!}$ converge puntualmente per ogni x in R. il mio dubbio sta nell'utilizzo della norma uniforme che spesso tira in trabocchetti quando x può variare in tutto R (come in questo caso).
pochi criteri quindi... ecco perchè detesto le serie (e le successioni): mi sento senza basi solide per capire bene come affrontare questi problemi sulla loro convergenza. forse sarà solo una mia sensazione, ma mi sembra sempre che questo tipo di esercizi si possa fare solo "a naso", utilizzando esclusivamente criteri mandati giù a memoria. così, mi sembrano esercizi che richiedono un approccio che personalmente detesto
idee mie comunque. dettate sicuramente dalla poca conoscenza sull'argomento. nessuno si infervori
@piadinaro: ok, estremo inclusi (cioè $[-x_M; x_M]$). è questo l'esempio di "trabocchetto" di cui ho appena parlato in cui casco spesso.
grazie ad entrambi allora
direi che ho risolto
incredibile dictu, ma sulle serie ci è richiesto relativamente poco da sapere. gli unici criteri che conosco sono:
- maggiorare la serie e studiare la convergenza di quest'ultima
- criterio della radice n-esima
- criterio del rapporto
per studiare la convergenza uniforme, l'unico "criterio" di cui dispongo è il teorema citato prima (conv. totale => conv. uniforme).
nel caso in questione io so che una serie del tipo $\frac{x^n}{n!}$ converge puntualmente per ogni x in R. il mio dubbio sta nell'utilizzo della norma uniforme che spesso tira in trabocchetti quando x può variare in tutto R (come in questo caso).
pochi criteri quindi... ecco perchè detesto le serie (e le successioni): mi sento senza basi solide per capire bene come affrontare questi problemi sulla loro convergenza. forse sarà solo una mia sensazione, ma mi sembra sempre che questo tipo di esercizi si possa fare solo "a naso", utilizzando esclusivamente criteri mandati giù a memoria. così, mi sembrano esercizi che richiedono un approccio che personalmente detesto
idee mie comunque. dettate sicuramente dalla poca conoscenza sull'argomento. nessuno si infervori
@piadinaro: ok, estremo inclusi (cioè $[-x_M; x_M]$). è questo l'esempio di "trabocchetto" di cui ho appena parlato in cui casco spesso.
grazie ad entrambi allora
direi che ho risolto
Il suggerimento che ti avevo dato secondo me ti abbreviava i conti, ma non conoscendo tutti gli strumenti allora non se ne faceva nulla 
Per gli estremi fa lo stesso: la convergenza uniforme si ha in entrambi i casi. Anzi, se hai la convergenza uniforme su un insieme allora ce l'hai su tutti i suoi sottoinsiemi. Se pensi alla definizione te ne accorgi considerando che il sup di un insieme e maggiore o uguale al sup di ciascuno dei suoi sottoinsiemi (in R).
Poi ad essere pignoli anche la richiesta è un po' imprecisa. Non si ha IL dominio dove la convergenza è uniforme. Ce ne sono tanti possibili. Quindi penso che la mia e la tua risposta vadano bene entrambe.
Poi ad essere pignoli anche la richiesta è un po' imprecisa. Non si ha IL dominio dove la convergenza è uniforme. Ce ne sono tanti possibili. Quindi penso che la mia e la tua risposta vadano bene entrambe.
in che senso imprecisa? o.o
comunque si, so che la convergenza uniforme è una proprietà "globale". non ha cioè senso parlare di convergenza uniforme in un punto.
credo sia solo questione di prenderci meglio la mano con la norma uniforme, perchè con questi giochetti del sup, mi frega davvero spesso.
comunque si, so che la convergenza uniforme è una proprietà "globale". non ha cioè senso parlare di convergenza uniforme in un punto.
credo sia solo questione di prenderci meglio la mano con la norma uniforme, perchè con questi giochetti del sup, mi frega davvero spesso.
Perché ti chiede qual è il dominio di x entro il quale la serie converge uniformemente. Scritta così a me fa pensare che ci sia un solo dominio entro il quale ... e io lo debba determinare. Invece un qualunque sottoinsieme limitato di R è un possibile dominio dove la serie converge uniformemente.
ah ok.
no beh, è sottointeso "il più grande".
no beh, è sottointeso "il più grande".
Ma "il più grande" non esiste!
o.o
come no?
posso avere una serie/succ. che converge unif nell'intervallo [0;1] ma non in un intervallo più grande.
mi sembra proprio di aver letto un esercizio svolto in cui la serie in questione convergeva solo un in intervallo ben definito e limitato.
come no?
posso avere una serie/succ. che converge unif nell'intervallo [0;1] ma non in un intervallo più grande.
mi sembra proprio di aver letto un esercizio svolto in cui la serie in questione convergeva solo un in intervallo ben definito e limitato.
Sì, è possibile, ma non è sempre vero. Io facevo riferimento all'esercizio di partenza. Lì non c'è un insieme dove la serie converge uniformemente e la convergenza uniforme non vale per ogni insieme che lo contiene. Ma lo stesso vale per cose molto più semplici, come ad esempio $\sum x^n$
io ero molto più sul generico (in realtà ero sul "vago", dato che di questo argomento davvero so poco e niente ._. )
comunque ok, quanto detto finora mi ha chiarito meglio il dubbio su quanto il mio docente ha scritto su questo esercizio (si, è un esercizio svolto).
comunque ok, quanto detto finora mi ha chiarito meglio il dubbio su quanto il mio docente ha scritto su questo esercizio (si, è un esercizio svolto).
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