Controllo risultato limite parametrico con sviluppi di Taylor
Buongiorno a tutti!
Vi propongo un esercizio che ho risolto ma non riesco a capire se ho sbagliato qualcosa.
La traccia mi chiede di trovare $a$ e $b$ reali affinché il limite esista finito
$lim_(x->0) x^(-6)((1+bx^2)/(1+ax^2)-Ch(x))$
Ho riscritto il limite come
$lim_(x->0) x^(-6)((1+bx^2)*(1+ax^2)^(-1)-Ch(x))$
e usato gli sviluppi di Taylor sviluppando fino al sesto ordine
$lim_(x->0) x^(-6)((1+bx^2)*(1-ax^2+a^2x^4-a^3x^6+o(x^6))-(1+(x^2)/2+x^4/24+x^6/(6!)+o(x^6)))$
fino ad arrivare a
$lim_(x->0) (x^2(-a+b-1/2)+x^4(a^2-ab-1/24)+x^6(-a^3+a^2b-1/(6!))+o(x^6))/x^6$
Ora, affinché il limite sia finito, i fattori di $x^2$ e $x^4$ devono essrere nulli quindi metto a sistema
${\(-a+b-1/2=0),(a^2-ab-1/24=0):}$
ottenendo come risultato: $a=-1/12,b=5/12$
Il problema nasce dal fatto che dando in pasto il limite a WolframAlpha, con i risultati da me trovati, mi risponde che il limite no esiste.
Non riesco proprio a capire dove ho sbagliato!
Spero che qualcuno sappia illuminarmi.
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità!
Vi propongo un esercizio che ho risolto ma non riesco a capire se ho sbagliato qualcosa.
La traccia mi chiede di trovare $a$ e $b$ reali affinché il limite esista finito
$lim_(x->0) x^(-6)((1+bx^2)/(1+ax^2)-Ch(x))$
Ho riscritto il limite come
$lim_(x->0) x^(-6)((1+bx^2)*(1+ax^2)^(-1)-Ch(x))$
e usato gli sviluppi di Taylor sviluppando fino al sesto ordine
$lim_(x->0) x^(-6)((1+bx^2)*(1-ax^2+a^2x^4-a^3x^6+o(x^6))-(1+(x^2)/2+x^4/24+x^6/(6!)+o(x^6)))$
fino ad arrivare a
$lim_(x->0) (x^2(-a+b-1/2)+x^4(a^2-ab-1/24)+x^6(-a^3+a^2b-1/(6!))+o(x^6))/x^6$
Ora, affinché il limite sia finito, i fattori di $x^2$ e $x^4$ devono essrere nulli quindi metto a sistema
${\(-a+b-1/2=0),(a^2-ab-1/24=0):}$
ottenendo come risultato: $a=-1/12,b=5/12$
Il problema nasce dal fatto che dando in pasto il limite a WolframAlpha, con i risultati da me trovati, mi risponde che il limite no esiste.
Non riesco proprio a capire dove ho sbagliato!
Spero che qualcuno sappia illuminarmi.
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità!
Risposte
Utilizzando il seguente limite notevole :
Quindi abbiamo che :
Adesso notiamo che per \(\displaystyle x \to 0 \) :
e la parentesi si annulla (portandoci ad una forma indeterminata) se :
se questa condizione non si verifica il limite diverge negativamente. Supponiamo allora che sia verificata la precedente:
anche stavolta ci rendiamo conto che per \(\displaystyle x \to 0 \) :
quindi a prescindere dal valore di \(\displaystyle b \) la parentesi \(\displaystyle \to 0 \). Allora dato che otteniamo una forma indeterminata del tipo \(\displaystyle \frac{0}{0} \) a prescindere da \(\displaystyle b \) diamogli un valore che ci fa comodo, ad esempio \(\displaystyle b=0 \) e vediamo se quel limite converge. Quindi :
per il teorema di De l'Hopital :
quindi (se non ho sbagliato nulla) non esistono valori di \(\displaystyle a,b \in \mathbb{R} \) tali che quel limite converga.
Nota: Se invece quel limite fosse convergente allora le soluzioni per cui si ottiene un valore finito sarebbero la famiglia del tipo \(\displaystyle \left(b-\frac{1}{2},b\right)\;\;\;\forall b \in \mathbb{R} \)
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{cosh(x)-1}{x^2} = \frac{1}{2} \)
Quindi abbiamo che :
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^6}\;\left(\frac{1+bx^2-cosh(x)-ax^2\:cosh(x)}{1+ax^2}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^6} \left(-\frac{cosh(x)-1}{1+ax^2} - x^2 \;\frac{a\;cosh(x)-b}{1+ax^2}\right) \)
\(\displaystyle = - \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^4}\; \frac{1}{1+ax^2} \left(\frac{cosh(x)-1}{x^2} + a\;cosh(x)-b \right) \)
Adesso notiamo che per \(\displaystyle x \to 0 \) :
\(\displaystyle \frac{1}{1+ax^2} \to 1 \;\;\;\;\;\forall a \;\;\;\;\;;\;\;\;\;\; \frac{cosh(x)-1}{x^2} \to \frac{1}{2} \;\;\;\;\;;\;\;\;\;\; cosh(x) \to 1\)
e la parentesi si annulla (portandoci ad una forma indeterminata) se :
\(\displaystyle \frac{1}{2} + a - b = 0 \;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;a = b - \frac{1}{2} \)
se questa condizione non si verifica il limite diverge negativamente. Supponiamo allora che sia verificata la precedente:
\(\displaystyle = - \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^4}\; \frac{1}{1+\left(b-\frac{1}{2}\right)x^2} \left(\frac{cosh(x)-1}{x^2} + \left(b-\frac{1}{2}\right)\;cosh(x)-b \right) \)
\(\displaystyle = - \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^4}\; \frac{1}{1+\left(b-\frac{1}{2}\right)x^2} \left(\frac{cosh(x)-1}{x^2} + b\;(cosh(x)-1) - \frac{1}{2} cosh(x) \right) \)
\(\displaystyle = - \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^4}\; \frac{1}{1+\left(b-\frac{1}{2}\right)x^2} \left((cosh(x)-1) \left(\frac{1}{x^2} + b\right) - \frac{1}{2} cosh(x) \right) \)
\(\displaystyle = - \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^4}\; \frac{1}{1+\left(b-\frac{1}{2}\right)x^2} \left( \frac{cosh(x)-1}{x^2} \;(1+bx^2) - \frac{1}{2} cosh(x) \right) \)
anche stavolta ci rendiamo conto che per \(\displaystyle x \to 0 \) :
\(\displaystyle \frac{1}{1+\left(b-\frac{1}{2}\right)x^2} \to 1 \;\;\;\;\;\forall b \;\;\;\;\;;\;\;\;\;\; \frac{cosh(x)-1}{x^2} \to \frac{1}{2} \;\;\;\;\;;\;\;\;\;\; 1+bx^2 \to 1 \;\;\;\;\;\forall b\)
quindi a prescindere dal valore di \(\displaystyle b \) la parentesi \(\displaystyle \to 0 \). Allora dato che otteniamo una forma indeterminata del tipo \(\displaystyle \frac{0}{0} \) a prescindere da \(\displaystyle b \) diamogli un valore che ci fa comodo, ad esempio \(\displaystyle b=0 \) e vediamo se quel limite converge. Quindi :
\(\displaystyle = - \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^4} \; \frac{1}{1-\frac{1}{2}x^2} \left( \frac{cosh(x)-1}{x^2} \; - \frac{1}{2} cosh(x) \right) \)
\(\displaystyle = - \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^4} \; \frac{1}{1-\frac{1}{2}x^2} \left( \frac{cosh(x)-1}{x^2} \; - \frac{1}{2} cosh(x) -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) \)
\(\displaystyle = - \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^4} \; \frac{1}{1-\frac{1}{2}x^2} \left( \frac{cosh(x)-1}{x^2} \; - \frac{1}{2} ( cosh(x)- 1) -\frac{1}{2} \right) \)
\(\displaystyle = - \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^4} \; \frac{1}{1-\frac{1}{2}x^2} \left((cosh(x)-1) \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2}\right) -\frac{1}{2} \right) \)
\(\displaystyle = - \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^4} \; \frac{1}{2-x^2} \left( \frac{cosh(x)-1}{x^2} \; (2-x^2) -1 \right) \)
\(\displaystyle = - \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^4} \; \left( \frac{cosh(x)-1}{x^2} -\frac{1}{2-x^2} \right) \)
\(\displaystyle = -\lim_{x \to 0} \frac{(2-x^2)(cosh(x)-1)-x^2}{x^6(2-x^2)} = -\lim_{x \to 0} \frac{2\;cosh(x)-2 -x^2\;cosh(x)}{2x^6-x^8}\)
per il teorema di De l'Hopital :
\(\displaystyle = -\lim_{x\to 0} \frac{2\;sinh(x)-2x\;cosh(x)-x^2\;sinh(x)}{12x^5-8x^7} \)
\(\displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{4\;sinh(x)+x\;cosh(x)}{60x^3-56x^5} \)
\(\displaystyle = \lim_{x\to 0} \frac{5\;cosh(x)+x\;sinh(x)}{180x^2-280x^4} = +\infty \)
quindi (se non ho sbagliato nulla) non esistono valori di \(\displaystyle a,b \in \mathbb{R} \) tali che quel limite converga.
Nota: Se invece quel limite fosse convergente allora le soluzioni per cui si ottiene un valore finito sarebbero la famiglia del tipo \(\displaystyle \left(b-\frac{1}{2},b\right)\;\;\;\forall b \in \mathbb{R} \)
Ti ringrazio davvero tanto per la spiegazione! Hai fatto un grandissimo lavoro!
Probabilmente usando gli sviluppi in serie ti saresti risparmiato parecchi calcoli e credo che in questo esercizio siano fondamentali.
Sei stato rigorosissimo nello svolgimento ma usando i limiti notevoli credo che tu abbia trascurato i termini di ordine 4 e 6 nello sviluppo.
Detto ciò ho capito dove avevo sbagliato: il risultato che ho postato è giusto.
Ho fatto l'errore di scrivere in WolframAlpha $Ch$, che interpretava come $coth$, anziché $cosh$.
Adesso mi torna tutto.
Ti ringrazio ancora per la disponibilità!!
Probabilmente usando gli sviluppi in serie ti saresti risparmiato parecchi calcoli e credo che in questo esercizio siano fondamentali.
Sei stato rigorosissimo nello svolgimento ma usando i limiti notevoli credo che tu abbia trascurato i termini di ordine 4 e 6 nello sviluppo.
Detto ciò ho capito dove avevo sbagliato: il risultato che ho postato è giusto.
Ho fatto l'errore di scrivere in WolframAlpha $Ch$, che interpretava come $coth$, anziché $cosh$.
Adesso mi torna tutto.
Ti ringrazio ancora per la disponibilità!!
Sicuramente con l'approsimazione asintotica sarebbero venuti meno calcoli ma dato che giungevi ad un risultato errato (anche se poi era solo un problema di verifica) ho voluto provare a svolgerlo in modo più rigoroso senza approssimare nulla.
Con i limiti notevoli non ho trascurato nessun termine, il tutto è frutto solo di semplificazioni,raccoglimenti ecc..non ho approssimato le funzioni.
Di nulla
Con i limiti notevoli non ho trascurato nessun termine, il tutto è frutto solo di semplificazioni,raccoglimenti ecc..non ho approssimato le funzioni.
Di nulla
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