Controllo problema di Cauchy
Salve a tutti !! Sto provando a risolvere gli studi qualitativi sui problemi di Cauchy ed ho molte difficoltà !!! In particolare sto provando a svolgere questo esercizio:
data $ y'(x)= sqrt (|x-y(x)|) $ dire per quali dati iniziali si ha esistenza locale e per quali non si ha unicità ( se ve ne sono),dire per quali dati si ha l'esistenza globale !!
Dunque: $ y'(x)= sqrt (|x-y(x)|) $ me lo scrivo semplicemente come $ f(x,y)= sqrt (|x-y|) $ ,il dominio è tutto $ R^2 $,giusto ?? La derivata parziale rispetto alla y è $ 1/2(x-y)^(-1/2)*sgn(x-y)(-1) $ ?? E il dominio della derivata parziale è l'insieme $A={ (x,y)\in R^2 | x>y }$???...quindi si ha l'esistenza locale della soluzione ma non l'unicità ! L'unicità si perde per quei punti che stanno al di sotto della bisettrice della bisettrice del primo e del terzo quadrante ???
E per l'esistenza globale come devo fare ??? Potreste gentilmente spiegarmi queste cose ??? Grazie mille !!!
data $ y'(x)= sqrt (|x-y(x)|) $ dire per quali dati iniziali si ha esistenza locale e per quali non si ha unicità ( se ve ne sono),dire per quali dati si ha l'esistenza globale !!
Dunque: $ y'(x)= sqrt (|x-y(x)|) $ me lo scrivo semplicemente come $ f(x,y)= sqrt (|x-y|) $ ,il dominio è tutto $ R^2 $,giusto ?? La derivata parziale rispetto alla y è $ 1/2(x-y)^(-1/2)*sgn(x-y)(-1) $ ?? E il dominio della derivata parziale è l'insieme $A={ (x,y)\in R^2 | x>y }$???...quindi si ha l'esistenza locale della soluzione ma non l'unicità ! L'unicità si perde per quei punti che stanno al di sotto della bisettrice della bisettrice del primo e del terzo quadrante ???
E per l'esistenza globale come devo fare ??? Potreste gentilmente spiegarmi queste cose ??? Grazie mille !!!
Risposte
Io riguarderei la derivata rispetto a y.. secondo te quella cosa non è derivabile su tutto un semipiano? O.o
A parte che ho sbagliato a scrivere la derivata,mi sa che dovrebbe essere $ f_y(x,y)=1/2* (|x-y|)^(-1/2)*sgn(x-y)(-1) $ ...e quindi si devono escludere solo i punti che stanno sulla bisettrice !!! Mi confermi ????
In quei punti non hai garantita l'unicità, questo è giusto.
Ma per l'esistenza globale come mi devo muovere ????
L'esistenza globale è garantita nel momento in cui la $f(x,y)$ è lipschitziana rispetto a $y$ su tutta una striscia verticale del dominio di $f$.
Ok....ma non capisco proprio come devo fare !!!!!
In realtà non sono molto sicuro, però secondo me, siccome la funzione di fatto non è lipschitziana su nessun insieme del tipo $J xx R$, dove $J$ è un intervallo qualsiasi, tu non puoi accertare l'esistenza della soluzione su nessun intervallo fissato a priori.
Sicuramente per ogni punto che non stia sulla bisettrice hai garantita l'esistenza e l'unicità locale, cioè esiste un intervallo (di cui però non puoi decidere l'ampiezza) in cui la soluzione c'è.
Quindi io concluderei che non c'è nessuna condizione iniziale per cui tu, fissato un qualsiasi intervallo, riesca a dire che su questo intervallo la soluzione è sicuramente definita.
Sicuramente per ogni punto che non stia sulla bisettrice hai garantita l'esistenza e l'unicità locale, cioè esiste un intervallo (di cui però non puoi decidere l'ampiezza) in cui la soluzione c'è.
Quindi io concluderei che non c'è nessuna condizione iniziale per cui tu, fissato un qualsiasi intervallo, riesca a dire che su questo intervallo la soluzione è sicuramente definita.
La tua è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine, ossia del tipo $y' = f(x,y)$, con $f(x,y) = \sqrt{|x-y|}$.
Poiché $f\in C(\RR^2)$ è garantita (per il teorema di Peano) l'esistenza di soluzioni per tutti i problemi di Cauchy (l'unicità è invece garantita solo per dati iniziali $(x_0, y_0)$ con $y_0\ne x_0$).
Inoltre $0\le f(x,y) \le 1+|x| + |y|$, dunque è garantita anche l'esistenza globale su tutto $\RR$; infatti la crescita è di tipo sub-lineare rispetto alla $y$, vale a dire $|f(x,y)| \le a(x) + b(x) |y|$ con $a$ e $b$ funzioni continue su tutto $\RR$.
Poiché $f\in C(\RR^2)$ è garantita (per il teorema di Peano) l'esistenza di soluzioni per tutti i problemi di Cauchy (l'unicità è invece garantita solo per dati iniziali $(x_0, y_0)$ con $y_0\ne x_0$).
Inoltre $0\le f(x,y) \le 1+|x| + |y|$, dunque è garantita anche l'esistenza globale su tutto $\RR$; infatti la crescita è di tipo sub-lineare rispetto alla $y$, vale a dire $|f(x,y)| \le a(x) + b(x) |y|$ con $a$ e $b$ funzioni continue su tutto $\RR$.
Meno male che c'è Rigel! 
Però scusa io avevo capito che la $f(x,y)$ deve rispettare $|f(x,y)|<=a+b|y|$ dove $a,b in RR$.
Come si spiega che funzioni anche così?
Se io prendo un intervallo in cui voglio che sia definita, grande a piacere, non trovo nessuna $a$ per cui quella condizione sia rispettata.
Però scusa io avevo capito che la $f(x,y)$ deve rispettare $|f(x,y)|<=a+b|y|$ dove $a,b in RR$.
Come si spiega che funzioni anche così?
Se io prendo un intervallo in cui voglio che sia definita, grande a piacere, non trovo nessuna $a$ per cui quella condizione sia rispettata.
Il criterio si può dimostrare anche con $a,b$ funzioni continue (basta anche meno), facendo uso delle disuguaglianze differenziali.
Comunque, se tu hai $|f(x,y)| \le a(x) + b(x) |y|$, sempre con $a,b\in C(\RR)$, vedi subito che se fissi un qualsiasi intervallo compatto $I = [\alpha, \beta]\subset\RR$ ti basta prendere $a_0 = \max_{x\in I} a(x)$, $b_0 = \max_{x\in I} b(x)$, per avere $|f(x,y)| \le a_0 + b_0 |y|$ per ogni $x\in I$ e per ogni $y\in\RR$; questo di dà l'esistenza su $[\alpha, \beta]$, anche usando il criterio a te noto. Vista l'arbitrarietà di $\alpha$ e $\beta$, hai l'esistenza globale su tutto $\RR$ (o su tutto l'intervallo dove $a$ e $b$ sono continue).
Comunque, se tu hai $|f(x,y)| \le a(x) + b(x) |y|$, sempre con $a,b\in C(\RR)$, vedi subito che se fissi un qualsiasi intervallo compatto $I = [\alpha, \beta]\subset\RR$ ti basta prendere $a_0 = \max_{x\in I} a(x)$, $b_0 = \max_{x\in I} b(x)$, per avere $|f(x,y)| \le a_0 + b_0 |y|$ per ogni $x\in I$ e per ogni $y\in\RR$; questo di dà l'esistenza su $[\alpha, \beta]$, anche usando il criterio a te noto. Vista l'arbitrarietà di $\alpha$ e $\beta$, hai l'esistenza globale su tutto $\RR$ (o su tutto l'intervallo dove $a$ e $b$ sono continue).
Hai ragione, ora è tutto più chiaro!
Scusa ma io non ho ben capito l'esistenza globale...da dove deriva quella disequazione ???? Ho capito che hai utilizzato il teorema di esistenza globale,ma non capisco come hai ragionato per arrivare a quella conclusione !!!
$\sqrt{t} \le 1 + t$ per ogni $t\ge 0$.
Di conseguenza $\sqrt{|x-y|} \le 1 + |x-y| \le 1+|x|+|y|$.
(E' la prima maggiorazione che mi è venuta in mente, l'esercizio si può fare in molti modi equivalenti.)
Di conseguenza $\sqrt{|x-y|} \le 1 + |x-y| \le 1+|x|+|y|$.
(E' la prima maggiorazione che mi è venuta in mente, l'esercizio si può fare in molti modi equivalenti.)
Ma quella maggiorazione da dove viene fuori ??? Mi riferisco a $ sqrt(t)<1+|t| $ ....
Quindi,ricapitolando,per dimostrare l'esistenza globale devo trovare maggiorazioni di questo tipo...posso concludere che la soluzione essite globalmente,cioè su tutto il piano ?? Grazie mille !!!!
Quindi,ricapitolando,per dimostrare l'esistenza globale devo trovare maggiorazioni di questo tipo...posso concludere che la soluzione essite globalmente,cioè su tutto il piano ?? Grazie mille !!!!
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