Controllo equazione differenziale.
ciao a tutti,
spero che ci sia qualcuno che mi possa controllare questa equazione differenziale.
dunque:
$y'(1-x^2)=(1-y^2)$
Non so se c'è un altro metodo, per ora sto usando il metodo delle equazioni differenziali a variabili separate, quindi l'esercizio dovrebbe venire:
$(y')/(1-y^2) = 1/(1-x^2)$.
ovvero: $int 1/(1-y^2) dy $ = $ int 1/(1-x^2) dx$.
Dal formulario http://www.math.it/formulario/integrali.htm
si trova immediatamente che $int 1/(1-x^2)$ = $1/2 ln|1+x|/|1-x|$
Applicando questa integrale immediato trovo che $int 1/(1-y^2) = int1/(1-x^2)$ => $1/2 ln|1+y|/|1-y|$ = $1/2 ln|1+x|/|1-x|$ + c
Il problema sorge adesso, in quanto la soluzione proposta è la seguente: $ ln|y-1|/|y+1|$ = $ c -ln|x-1|/|x+1|$.
A questo punto non riesco a capire se io ho sbagliato, e nel caso dove, oppure se è stata scritta male la soluzione.
Potete aiutarmi? grazie
spero che ci sia qualcuno che mi possa controllare questa equazione differenziale.
dunque:
$y'(1-x^2)=(1-y^2)$
Non so se c'è un altro metodo, per ora sto usando il metodo delle equazioni differenziali a variabili separate, quindi l'esercizio dovrebbe venire:
$(y')/(1-y^2) = 1/(1-x^2)$.
ovvero: $int 1/(1-y^2) dy $ = $ int 1/(1-x^2) dx$.
Dal formulario http://www.math.it/formulario/integrali.htm
si trova immediatamente che $int 1/(1-x^2)$ = $1/2 ln|1+x|/|1-x|$
Applicando questa integrale immediato trovo che $int 1/(1-y^2) = int1/(1-x^2)$ => $1/2 ln|1+y|/|1-y|$ = $1/2 ln|1+x|/|1-x|$ + c
Il problema sorge adesso, in quanto la soluzione proposta è la seguente: $ ln|y-1|/|y+1|$ = $ c -ln|x-1|/|x+1|$.
A questo punto non riesco a capire se io ho sbagliato, e nel caso dove, oppure se è stata scritta male la soluzione.
Potete aiutarmi? grazie
Risposte
Quali sono gli estremi di integrazione quando usi il metodo della separazione delle variabili e integri?
"Giuly19":
Quali sono gli estremi di integrazione quando usi il metodo della separazione delle variabili e integri?
non ci sono. in questi esercizi non sono specificati.
Certo che ci sono, è il motivo per cui non capisci da dove salta fuori quella $c$.
Prova a cercare una pagina sul tuo libro, in cui si dimostra perchè la separazione delle variabili porta alle soluzioni di un'equazione.
Prova a cercare una pagina sul tuo libro, in cui si dimostra perchè la separazione delle variabili porta alle soluzioni di un'equazione.
Scrivo qua la pagina relativa alle Equazioni differenziali a variabili separate. Mi perdonerete se non userò le lettere greche ma per comodità, visto che sono formule lunghe, userò le lettere normali.
"Sia f(x,y) + g(x,y)y'=0 un'equazione differenziale del primo ordine con f(xy) e g(x,y) definite e continue in un rettangolo aperto $ D sube R^2 $ . Supponiamo che f(x,y) = p(x)w(y) e g(x,y)=p1(x)w1(y). Allora si ha l'equazione differenziale
$p(x)w(y) + p1(x)w1(y)y' = 0$ (47)
che supposto $w(y)p(x) != 0$ può scriversi nella forma: $(w1(y))/(w(y)) y' + (p(x))/(p1(x)) = 0$
L'equazione (47) si dice a variabili separabili.
Supponiamo che $(w1(y))/(w(y))$ e $ (p(x))/(p1(x))$ siano continue in D. Si ha:
$ (d(w(y))/(w1(y)))/(dx) = (d(p1(x))/(p(x)))/(dy) = 0 $
Ne segue che le equazioni differenziali a variabili separabili sono esatte. Pertanto possiamo applicare la formula :
$int_(x0)^x f(t,y0) dt + int_(y0)^y g(x,t) dt $ oppure $int_(x0)^x f(t,y) dt + int_(y0)^y g(x0,t) dt $
Si ha quindi che l'integrale generale è dato da:
$int_(y0)^y (w1(t))/(w(t)) dt + int_(x0)^x (p(t))/(p1(x)) dt = c $
o anche
$int (w1(t))/(w(t)) dt + int (p(t))/(p1(x)) dt = c $
essendo arbitraria la costante degli integrali indefiniti che sono a primo membro.
Segue esempio in cui gli integrali vengono considerati indefiniti.
"Sia f(x,y) + g(x,y)y'=0 un'equazione differenziale del primo ordine con f(xy) e g(x,y) definite e continue in un rettangolo aperto $ D sube R^2 $ . Supponiamo che f(x,y) = p(x)w(y) e g(x,y)=p1(x)w1(y). Allora si ha l'equazione differenziale
$p(x)w(y) + p1(x)w1(y)y' = 0$ (47)
che supposto $w(y)p(x) != 0$ può scriversi nella forma: $(w1(y))/(w(y)) y' + (p(x))/(p1(x)) = 0$
L'equazione (47) si dice a variabili separabili.
Supponiamo che $(w1(y))/(w(y))$ e $ (p(x))/(p1(x))$ siano continue in D. Si ha:
$ (d(w(y))/(w1(y)))/(dx) = (d(p1(x))/(p(x)))/(dy) = 0 $
Ne segue che le equazioni differenziali a variabili separabili sono esatte. Pertanto possiamo applicare la formula :
$int_(x0)^x f(t,y0) dt + int_(y0)^y g(x,t) dt $ oppure $int_(x0)^x f(t,y) dt + int_(y0)^y g(x0,t) dt $
Si ha quindi che l'integrale generale è dato da:
$int_(y0)^y (w1(t))/(w(t)) dt + int_(x0)^x (p(t))/(p1(x)) dt = c $
o anche
$int (w1(t))/(w(t)) dt + int (p(t))/(p1(x)) dt = c $
essendo arbitraria la costante degli integrali indefiniti che sono a primo membro.
Segue esempio in cui gli integrali vengono considerati indefiniti.
"Giuly19":
Certo che ci sono, è il motivo per cui non capisci da dove salta fuori quella $c$.
Prova a cercare una pagina sul tuo libro, in cui si dimostra perchè la separazione delle variabili porta alle soluzioni di un'equazione.
Comunque il problema non è la C.... è il fatto che a me viene così:
$1/2 ln|1+y|/|1-y|$ = $1/2 ln|1+x|/|1-x|$ + c
mentre la soluzione è questa:
$ ln|y-1|/|y+1|$ = $ c -ln|x-1|/|x+1|$.
Anche in questo caso non è prevista alcun estremo di integrazione, forse fai confusione con un altro tipo di differenziali.
"l0r3nzo":
Comunque il problema non è la C.... è il fatto che a me viene così:
$1/2 ln|1+y|/|1-y|$ = $1/2 ln|1+x|/|1-x|$ + c
mentre la soluzione è questa:
$ ln|y-1|/|y+1|$ = $ c -ln|x-1|/|x+1|$.
Scusami non avevo capito che il problema fosse questo:
$1/2 ln|1+y|/|1-y| = 1/2 ln|1+x|/|1-x| + c => ln|1+y|/|1-y| = ln|1+x|/|1-x| + 2c = -ln|1-x|/|1+x|+2c$.
Siccome $c$ è arbitrario la tua soluzione e quella del libro coincidono, semplicemente chiamando $C$ quello del libro, il tuo $c=C/2$.
Mmmmm... a me pare giusta la tua soluzione. In effetti derivando l'altra si ottiene [tex]$\frac{y'}{y^2-1}=-\frac{1}{x^2-1}$[/tex].
grazie 
purtroppo il prof. nelle dispense ha fatto numerosi errori e non riesco mai a capire se faccio bene o meno. grazie.
purtroppo il prof. nelle dispense ha fatto numerosi errori e non riesco mai a capire se faccio bene o meno. grazie.
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