Controllo eq. diff. II ordine lineare non omogenea

[Pablitos23]

E' la seguente:

$\{(y^('')-2^(')y+2y=sinx),(y(0)=0),(y^(')(0)=0) :}$

$1)$ Polinomio caratteristico e omogenea associata

$y^2-2y+2=0$

$Delta = -4 <0$

Soluzioni: $y_(1,2) = (2+-isqrt(4))/2 = \{(y_1=1+i),(y_2=1-i) :}$

L'integrale generale sarà: $y_o(x)=c_1e^xsinx+c_2e^xcosx$




$2)$Soluzioni particolari (metodo di somiglianza e ricerca della soluzione particolare)

$f(x) = sinx -> alpha=0 ^^ beta=1 -> text{molteplicità = 0}$

La mia soluzione particolare sarà: $bar{y} = Acosx+Bsinx$

Ora ricavo le incognite $A$ e $B$ sostituendo la soluzione particolare nell'equazione iniziale.

$bar{y'}= Bcosx -A sinx$
$bar{y''}= -Acosx -Bsinx$

Allora:

$y''-2y'+2y = Bsinx+Acosx+2Asinx-2Bcosx = sinx$

Dal sistema deduco che:

$\{(B+2A=1),(A-2B=0) :}->\{(B=1/5),(A=2/5):}$

$bar{y} = 2/5cosx + 1/5sinx$

$y(x) = y_o(x) + bar{y} = c_1e^xsinx + c_2e^xcos(x) +2/5cosx + 1/5 cosx$


Prima di impostare le condizioni vorrei sapere se il procedimento è giusto. Grazie e buona giornata

[Pablitos23]

Impostando le condizioni dovrei trovarmi:

$y(0)=0=c_1+2/5 -> c_1=-2/5$

$y'(x) = c_1e^xcosx - c_1e^xsinx + c_2e^xsinx + c_2e^xcosx -2/5sinx +1/5cosx$

$y'(0)=0=c_1+c_2+1/5 -> c_2 = 1/5$


SOLUZIONE

$y(x) = -2/5e^xcosx+1/5e^xsinx+2/5cosx+1/5sinx$

$y(x) = 1/5[-2e^xcosx + e^xsinx+2cosx+sinx]$

$y(x) = 1/5[2cosx(-e^x+1)+sinx(e^x+1)]$