Controllo dimostrazione su minimi relativi e assoluti
Ciao a tutti! 
Ho aperto questo thread per avere conferma della correttezza e, eventualmente, per consigli o correzioni riguardo a una proposizione sull'esistenza del minimo assoluto e alla relativa dimostrazione che ho dato.
Riporto qui il testo della proposizione e la relativa dimostrazione. Se qualcuno potesse per favore darci un'occhiata ne sarei felice!
Ringrazio anticipatamente!
Proposizione:
Sia $f in C^1(RR^2)$ con $f: RR^2 \to RR$ e sia $P_0 in RR^2$ unico punto stazionario di $f$ su $RR^2$ e punto di minimo relativo di $f$. Allora $P_0$ è un punto di minimo assoluto di $f$.
Dimostrazione:
Sia $r_0>0$ e considero $B(P_0,r_0) sub RR^2$. Fissato $P in B(P_0,r_0)$ considero il segmento $\bar{P_0P}={P_0+t(P-P_0):t in [0,1]}$ e definisco la funzione $F:[-1,1] \to RR$ , $F(t)=f(P_0+t(P-P_0))$.
Allora per le proprietà delle funzioni composte $F in C^1[-1,1]$ e $t=0$ è un punto di minimo relativo per $F$, cioè $EE \delta>0$ t. c. $F(0)<=F(t)$ $ AA t in [-\delta , \delta]$.
Suppongo, per assurdo, che $EE \bar{t} in [-1,1]$ t. c. $F(\bar{t})0$ (con $\bar{t}<0$ è analogo).
Poiché $F$ ha un minimo in $0$ si avrà $F(0+\varepsilon)>F(0)$ con $\varepsilon < \delta$. Considerato l'intervallo $[ \varepsilon , \bar{t} ]$ per il teorema dei valori intermedi esiste $\hat t in [\varepsilon , \bar t]$ t. c. $F(\hat t)=F(0)$.
Posso dunque applicare il teorema di Rolle sull'intervallo $[0,\hat t]$ ed esso mi assicura che $EE t^** in [0,\hat t]$ t. c. $F$ $'(t^**)=0$.
Ma per le proprietà delle funzioni composte si ha $F$ $'(t)=\nabla f(P_0+t(P-P_0))*(P-P_0)$ (prodotto scalare) e dunque $F$ $'(t)=0$ $\iff P_0+t(P-P_0)=P_0 \iff t=0$. È dunque un assurdo e quindi $\nexists \bar t$ t. c. $F(\bar t)
$P_0$ è perciò minimo assoluto di $f$ su $RR^2$.
Ho aperto questo thread per avere conferma della correttezza e, eventualmente, per consigli o correzioni riguardo a una proposizione sull'esistenza del minimo assoluto e alla relativa dimostrazione che ho dato.
Riporto qui il testo della proposizione e la relativa dimostrazione. Se qualcuno potesse per favore darci un'occhiata ne sarei felice!
Ringrazio anticipatamente!Proposizione:
Sia $f in C^1(RR^2)$ con $f: RR^2 \to RR$ e sia $P_0 in RR^2$ unico punto stazionario di $f$ su $RR^2$ e punto di minimo relativo di $f$. Allora $P_0$ è un punto di minimo assoluto di $f$.
Dimostrazione:
Sia $r_0>0$ e considero $B(P_0,r_0) sub RR^2$. Fissato $P in B(P_0,r_0)$ considero il segmento $\bar{P_0P}={P_0+t(P-P_0):t in [0,1]}$ e definisco la funzione $F:[-1,1] \to RR$ , $F(t)=f(P_0+t(P-P_0))$.
Allora per le proprietà delle funzioni composte $F in C^1[-1,1]$ e $t=0$ è un punto di minimo relativo per $F$, cioè $EE \delta>0$ t. c. $F(0)<=F(t)$ $ AA t in [-\delta , \delta]$.
Suppongo, per assurdo, che $EE \bar{t} in [-1,1]$ t. c. $F(\bar{t})
Poiché $F$ ha un minimo in $0$ si avrà $F(0+\varepsilon)>F(0)$ con $\varepsilon < \delta$. Considerato l'intervallo $[ \varepsilon , \bar{t} ]$ per il teorema dei valori intermedi esiste $\hat t in [\varepsilon , \bar t]$ t. c. $F(\hat t)=F(0)$.
Posso dunque applicare il teorema di Rolle sull'intervallo $[0,\hat t]$ ed esso mi assicura che $EE t^** in [0,\hat t]$ t. c. $F$ $'(t^**)=0$.
Ma per le proprietà delle funzioni composte si ha $F$ $'(t)=\nabla f(P_0+t(P-P_0))*(P-P_0)$ (prodotto scalare) e dunque $F$ $'(t)=0$ $\iff P_0+t(P-P_0)=P_0 \iff t=0$. È dunque un assurdo e quindi $\nexists \bar t$ t. c. $F(\bar t)
$P_0$ è perciò minimo assoluto di $f$ su $RR^2$.
Risposte
Rinnovo la richiesta se per caso qualcuno ha voglia e tempo di rispondere!
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