Controimmagine di una funzione
Mi assale un dubbio.
Allora, ho il seguente esercizio:
determinare l'antimmagine della funzione
y=$x^2-1$
nell'intervallo: [0,1].
Da un punto di vista grafico mi viene da affermare:
"la funzione indicata rappresenta una parabola, con concavità rivolta verso l'alto, che interseca l'asse delle y in -1 e quello delle x in -1 e in +1. Pertanto, nell'intervallo chiuso indicato, la funzione ha un'antimmagine che è [-1,0]."
Intanto,
a. è corretto?
b. e se volessi determinare l'antimmagine analiticamente?
Grazie per la pazienza.
Allora, ho il seguente esercizio:
determinare l'antimmagine della funzione
y=$x^2-1$
nell'intervallo: [0,1].
Da un punto di vista grafico mi viene da affermare:
"la funzione indicata rappresenta una parabola, con concavità rivolta verso l'alto, che interseca l'asse delle y in -1 e quello delle x in -1 e in +1. Pertanto, nell'intervallo chiuso indicato, la funzione ha un'antimmagine che è [-1,0]."
Intanto,
a. è corretto?
b. e se volessi determinare l'antimmagine analiticamente?
Grazie per la pazienza.
Risposte
"alfredo":
b. e se volessi determinare l'antimmagine analiticamente?
Grazie per la pazienza.
devi vverificare la continuita' (cosa che deve valere anche per la tua affermazione) e che la funzione e' monotona crescente e poi calcoli i valori agli estremi dell'intervallo.
non so se mi sono capito.
alex
Grazie codino 75.
Innanzitutto credo di dover rettificare quanto ho affermato nel post iniziale. Infatti, girando in rete, mi è sembrato di aver capito che l'antimmagine:
$f^-1([0,1])$
della funzione data è un sottoinsieme del dominio (cioè delle ascisse), o sbaglio? Se quindi ho capito bene, nel nostro caso, si tratta di trovare tutti quegli x che rendono la y compresa tra 0 e 1 (inclusi gli estremi).
E, sempre ragionando per via grafica, arrivo a :
$f^-1([0,1])= [-sqr(2),-1] U [1,sqr(2)]$
(N.B.: sqr= "radice quadrata")
Ma, insisto, per giungere allo stesso risultato per via analitica?
La risposta da te indicata mi convince (anche se, forse, la verifica dovrebbe accertare la crescenza monotonica o, anche, la decrescenza monotonica); ma, se la funzione è continua ma non monotona (per esempio oscillante o altro)? Il problema dovrebbe comunque potersi risolvere.
E poi un'altra cosa. Ho trovato questo esercizio tra gli esercizi assegnati ad un esonero di analisi quando ancora non era stata sviluppata la derivazione. Questo potrebbe significare che quel professore si aspettava l'applicazione di un metodo differente dalla derivazione per indagare la crescenza/decrescenza di una funzione.
Insomma, sto dicendo un cumulo di c...te?
Fatemi capire, please.
Innanzitutto credo di dover rettificare quanto ho affermato nel post iniziale. Infatti, girando in rete, mi è sembrato di aver capito che l'antimmagine:
$f^-1([0,1])$
della funzione data è un sottoinsieme del dominio (cioè delle ascisse), o sbaglio? Se quindi ho capito bene, nel nostro caso, si tratta di trovare tutti quegli x che rendono la y compresa tra 0 e 1 (inclusi gli estremi).
E, sempre ragionando per via grafica, arrivo a :
$f^-1([0,1])= [-sqr(2),-1] U [1,sqr(2)]$
(N.B.: sqr= "radice quadrata")
Ma, insisto, per giungere allo stesso risultato per via analitica?
La risposta da te indicata mi convince (anche se, forse, la verifica dovrebbe accertare la crescenza monotonica o, anche, la decrescenza monotonica); ma, se la funzione è continua ma non monotona (per esempio oscillante o altro)? Il problema dovrebbe comunque potersi risolvere.
E poi un'altra cosa. Ho trovato questo esercizio tra gli esercizi assegnati ad un esonero di analisi quando ancora non era stata sviluppata la derivazione. Questo potrebbe significare che quel professore si aspettava l'applicazione di un metodo differente dalla derivazione per indagare la crescenza/decrescenza di una funzione.
Insomma, sto dicendo un cumulo di c...te?
Fatemi capire, please.
Grazie Sergio, direi che il tuo ragionamento non fa una piega! Almeno a me, semplice appassionato, così appare.
Quindi, riepilogando, la monotonicità di una funzione la si può studiare anche per via algebrica (sempre?). E, in tal caso, l'uso dei metodi di derivazione diviene superfluo.
P.S.: ma il segno grafico di radice quadrata è oggettivamente un po' bruttino, oppure è la visualizzazione del mio browser?
Quindi, riepilogando, la monotonicità di una funzione la si può studiare anche per via algebrica (sempre?). E, in tal caso, l'uso dei metodi di derivazione diviene superfluo.
P.S.: ma il segno grafico di radice quadrata è oggettivamente un po' bruttino, oppure è la visualizzazione del mio browser?
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