Controimmagine di un intersezione

[giuscri]

E' da ieri che ogni volta che sfoglio questo passaggio sul mio libro di Analisi ho il vuoto -non riesco ad immaginarmi nulla.

Sia $f: X -> Y$, siano $X_1$ , $X_2 $ e $A$ sottoinsiemi di $X$ e $Y_1$ , $Y_2$ e $B$ sottoinsiemi di $Y$.
Valgono le seguenti cose:

1. $f^(-1) (Y_1 nn Y_2) = f^(-1) (Y_1) nn f^(-1) (Y_2)$[/list:u:2kynygwi]

2. $f(X_1 nn X_2) sube f(X_1) nn f(X_2)$[/list:u:2kynygwi]

Qualche dritta per afferrare il significato delle due affermazioni?

[Raptorista1]

Sposto nella sezione giusta [qui in analisi].
Attenzione la prossima volta!

[Gi81]

\[f \left( X_1 \cap X_2 \right) \subseteq f\left( X_1 \right) \cap f \left( X_2\right)\]

Dimostrazione: Se $y \in f (X_1 nn X_2)$ allora $y= f(x)$ con $x in X_1 nn X_2$,
dunque $y in f(X_1)$ (perchè $y=f(x)$ e $x in X_1$) e $y in f(X_2)$ (perchè $y=f(x)$ e $x in X_2$).
Pertanto $y in f(X_1) nn f(X_2)$.

In generale non vale l'uguaglianza: controesempio con $f(x)=x^2$, $X_1=[-1,2]$ e $X_2=[-2,1]$.
Si ha che $f(X_1)=[0,4]=f(X_2)$, ma $f(X_1 nn X_2)= f( [-1;1] )= [0,1]$.

[giuscri]

Vi ringrazio!

Buona giornata.