Controesempio teorema di Fermat

[dattolico_007]

Salve ragazzi. Stavo studiando come "smontare" il teorema di Fermat e una delle condizioni in cui cade è quella in cui data $f:A->R$ e $x_0$ punto interno ad $A$, tale $x_0$ non è né un punto di massimo né un punto di minimo locale. C'è scritto che si possono trovare diversi casi di punti interni dove la funzione non ha derivata nulla. Non riesco ad immaginarmi una funzione simile, avreste qualche esempio?
Grazie mille!

[Mephlip]

La funzione $f:[0,2] \to \mathbb{R}$ definita ponendo $f(x)=x$ è tale che $f'(1)=1$ e $1$ è un punto interno a $[0,2]$ che non è né punto di massimo né punto di minimo locale per $f$, perché in ogni suo intorno ci sono punti le cui immagini sono sia maggiori di $1$ sia minori di $1$.

Ma cade in che senso? Non è verificata l'unica ipotesi richiesta (a parte la derivabilità). Di solito, questi controesempi si cercano quando si ha più di una condizione e si vuole dimostrare la minimalità dell'insieme delle condizioni proposto.

[pilloeffe]

Ciao paolo1712,

In realtà non è molto chiara la richiesta, ma immagino che tu intenda funzioni con tangente obliqua in un punto, tipo $arctan(x)$, o con tangente verticale, tipo $\root[3]{x}$

[dattolico_007]

Non so perché mi ero fossilizzato sugli estremi degli intervalli (nonostante la chiara richiesta di punto interno ) non riuscendo a trovare un esempio.

"Mephlip":
Ma cade in che senso?

Nelle varie pagine sulle dimostrazioni che abbiamo fatto di Fermat, Lagrange, Rolle, Cauchy, abbiamo sempre cercato di fare un'analisi più profonda, seppur banale in alcuni casi, di tutti i teoremi (in realtà praticamente con tutto). Ad esempio per Fermat si analizzava il caso in cui venisse meno la derivabilità, non fosse punto di massimo o minimo, non fosse punto interno.
Nel caso di Rolle se $f(a)!=f(b)$ e se f non è continua nell'intervallo
Nel caso di Cauchy fa cadere la compattezza dell'insieme e con essa tutti e quattro i teoremi.

Grazie mille!