Controesempio Teorema di Dini

[joejoe2]

ragazzi la funzione $(x^2+y^2)(y-x^2)$ è un controesempio al teorema di dini? se si m spiegate il perchè. Io credo ke lo sia perchè pur avendo derivata parziale rispetto a y nulla nell'origine definisce comunque la funzione $y=x^2$ grazie anticipatamente

[NightKnight1]

Non hai provato la falsita' del Teorema del Dini! (che è vero, infatti)
Hai solo trovato un caso in cui le ipotesi del teorema del Dini non sono soddisfatte, ma la tesi lo è.
Per dimostrare la falsità di una proposizione devi trovare un caso in cui le ipotesi sono soddisfatte e la tesi no.

[joejoe2]

allora come potrei costruire un controesempio?? non è che potresti darmi un suggerimento?

[j18eos]

Io per controesempio ad un teorema di validità accertata intendo un esempio che verifica la tesi del teorema senza verificarne le ipotesi.

Faccio due controesempi scemi al teorema di Weierstrass, il quale afferma che una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato assume su di esso valori di minimo e massimo; il seno ed il coseno sono funzioni definite e continue in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], il quale non è un insieme limitato, ed hanno minimo -1 e massimo 1 su di esso pur non verificando le ipotesi del teorema suddetto (la limitatezza)!

[joejoe2]

ma infatti j18eos io il concetto di controesempio l'ho capito il problema è ke non ne riesco a costruire uno per dini. Io vorrei trovare l'equazione di una curva che magari soddisfando le ipotesi sul teorema di dini non sia definita da un'equazione, oppure una curva che non soddisfacendo le ipotesi sia comunque definita implicitamente da un'equazione, forse non m sono spiegato bene nel post precedente.

[Raptorista1]

@j18eos: un controesempio propriamente non è quello che dici tu: un controesempio è una caso in cui, verificate le ipotesi, non si verifica la tesi. In ogni teorema le ipotesi implicano la tesi, e quindi è improbabile trovare un controesempio di un teorema dimostrato!
Quello che hai fatto tu è trovare un controesempio del teorema inverso, cioè quello che scambia ipotesi e tesi, ed infatti se certe ipotesi implicano certe tesi, non è vero che le tesi implichino le ipotesi.

[j18eos]

Una curva che verifichi le ipotesi del teorema del Dini deve verificarne la tesi, qui non c'è dubbio e come giustamente mi ha corretto Raptorista: non né esistono di controesempi! Le rette a coefficiente angolare nullo $y=k$ non soddisfano le ipotesi del teorema del Dini ma solo la tesi; spero di non aver sbagliato!

[Raptorista1]

Non so dire se sia giusto (non ho ancora studiato questo teorema) ma ti so dire di certo che se è giusto quello che dici, queste funzioni non sono comunque controesempi del teorema di Dini, dunque non sono controesempi del teorema, ma sono solo controesempi del teorema inverso.

[j18eos]

Il mio intento è dare il controesempio al "teorema" inverso del teorema di Dini!

[gugo82]

"Raptorista":queste funzioni non sono comunque controesempi del teorema di Dini, dunque non sono controesempi del teorema, ma sono solo controesempi del teorema inverso.

Esatto.

Se un teorema, ovvero una proposizione nella forma [tex]$I\Rightarrow T$[/tex], è dimostrato (ossia se non è più una congettura), allora non ha senso chiedersi se esiste un controesempio.
Per definizione, un controesempio è qualcosa che (di)mostra falsa una congettura, cioè un esempio di [tex]$I\not\Rightarrow T$[/tex] (o equivalentemente che [tex]$\lnot T\not\Rightarrow \lnot I$[/tex]), che si ottiene esibendo più o meno esplicitamente un oggetto che goda delle proprietà espresse nella proposizione [tex]$I$[/tex] ma che non verifichi quelle presenti in [tex]$T$[/tex].

Ad esempio, diciamo che nel mio corso di studi ho sempre incontrato funzioni limitate [tex]$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$[/tex] che ammettono massimo e minimo assoluti; allora io mi sento autorizzato a congetturare il seguente teorema:

"Se [tex]$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$[/tex] è una funzione limitata, allora essa ha massimo e minimo assoluti".

Poi arriva un mio amico e mi dice che la mia congettura non è vera; per farmi capire, egli produce il seguente controesempio:

"Prendi [tex]$f(x):=\arctan x$[/tex]; questa è una funzione di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] in sé, è limitata, però non ha né massimo né minimo assoluti".

Questo è un controesempio alla mia congettura; quindi il teorema che avevo congetturato è falso.

Nel nostro caso, chiarito che un controesempio al Teorema del Dini non può essere trovato (perchè non può esistere logicamente), vedo possibili almeno due alternative interpretazioni della frase iniziale di joejoe.

La prima è: stiamo congetturando che oltre al teorema [tex]$I\Rightarrow T$[/tex] valga pure il teorema inverso, cioè [tex]$T\Rightarrow I$[/tex]. Ciò è possibile oppure esistono controesempi? In particolare, la funzione [tex]$\text{quella lì}$[/tex] è un controesempio al teorema inverso?

La seconda è: stiamo indebolendo le ipotesi del Dini, ossia stiamo congetturando che valga un teorema [tex]$I^\prime \Rightarrow T$[/tex] in cui l'ipotesi [tex]$I^\prime$[/tex] sia più debole di [tex]$I$[/tex] (il che significa che [tex]$I\Rightarrow I^\prime$[/tex], cioè che ogni volta che vale [tex]$I$[/tex] vale automaticamente anche [tex]$I^\prime$[/tex], ma che non necessariamente accade il viceversa). Ciò è possibile oppure esistono controesempi? In particolare, la funzione [tex]$\text{quella lì}$[/tex] è un controesempio alla nostra congettura?

Ora lascio a joejoe il compito di chiarire la sua richiesta.

[enr87]

"joejoe":ragazzi la funzione $(x^2+y^2)(y-x^2)$ è un controesempio al teorema di dini? se si m spiegate il perchè. Io credo ke lo sia perchè pur avendo derivata parziale rispetto a y nulla nell'origine definisce comunque la funzione $y=x^2$ grazie anticipatamente

io credo che il tuo problema stia nel fatto che confondi una condizione sufficiente (cioè quella che ti dà dini) con una necessaria e sufficiente.
dini in parole povere ti dice che, data una funzione f, se questa ha la derivata (continua) rispetto a y diversa da 0 in un punto (x0, y0), allora (sicuramente) puoi definire localmente, cioè nell'intorno di quel punto, una funzione della variabile x, il cui grafico è contenuto nella curva di livello f(x,y) = f(x0,y0).

è ovvio che questa condizione non è necessaria. pensa se una curva di livello di una funzione f coincidesse, per un tratto contenente l'origine, con x^3: la derivata rispetto ad x di f in (0,0) è nulla, ma nonostante questo puoi definire comunque una funzione di y in tutto un intorno di O, contenuta nella curva di livello. questo perchè in O non c'è un estremo ma semplicemente un punto di flesso. spero di aver centrato il problema

[joejoe2]

Ragazzi innanzitutto scusatemi per il mio comportamento ma ho avuto problemi con il pc e non ho potuto rispondervi prontamente. ( Spero che questo non mi costi il ban) Fatta questa premessa io ringrazio gugo 82 raptorista e j18eos che mi hanno chiarito il mio 'concetto' di controesempio; e soprattutto enr87 che ha centrato il punto. Infatti proponendovi quella funzione non ho fatto altro che prendere in esame una funzione che non soddisfa dini in quanto esso fornisce una condizione solo necessaria e non sufficiente; ovvero io non ho fatto altro che proporvi un esempio un po' + complicato di quello che ha dato enr87. Insomma la questione era proprio legata al fatto che dini non fornisce una condizione necessaria e sufficiente e invece io in ansia da studio ho confuso una cosa per un'altra.

[gugo82]

@joejoe: Rispondere in ritardo non causa ban (né mai lo farà)... Però la scrittura stile SMS è oltremodo fastidiosa, oltre che vietata dal regolamento.
Pertanto, appena puoi, modifica il tuo ultimo post.
Grazie

[orsonovara]

in questo caso, come faccio a provare che la funzione trovata è unica?
grazie mille!
Stefano

[Mephlip]

[xdom="Mephlip"]@orsonovara: Stai rispondendo ad una discussione di $13$ anni fa. È consigliato aprire un nuovo thread anziché recuperarne uno così vecchio; puoi aprirne uno nuovo in cui chiedi aiuto sulle tue perplessità. Chiudo.[/xdom]