Controesempio fra Banach.

[DarkSepiroth]

Vi propongo di trovare un controesempio su cui mi sto scervellando un po'.
Dati $X,Y$ Banach, trovare una applicazione $T: X \to Y$ lineare, continua ma tale che $T(X)$ non sia chiuso dentro $Y$. Esiste?
Inoltre, è vero che una $T$ lineare e continua fra Banach trasforma successioni di Cauchy in successioni di Cauchy?

[Rigel1]

"DarkSepiroth":Vi propongo di trovare un controesempio su cui mi sto scervellando un po'.
Dati $X,Y$ Banach, trovare una applicazione $T: X \to Y$ lineare, continua ma tale che $T(X)$ non sia chiuso dentro $Y$. Esiste?

Prendi uno spazio di Banach \(X\) non riflessivo e considera l'iniezione canonica \(J:X\to X^{**}\).

Inoltre, è vero che una $T$ lineare e continua fra Banach trasforma successioni di Cauchy in successioni di Cauchy?

\[\|Tx_n - T x_m\|_Y \leq \|T\|_{\mathcal{L}(X,Y)} \cdot \|x_n - x_m\|_X
\]

[gugo82]

Se vuoi costruire la tua \(T\) con le mani, pensa all'inclusione:
\[
T:\ell^1 \ni x \mapsto x \in c_0
\]
ove \(\ell^1 :=\{ x=(x_n):\ \sum_{n=0}^\infty |x_n| <+\infty \}\) è di Banach con la norma:
\[
\| x\|_1 := \sum_{n=0}^\infty |x_n|
\]
e \(c_0:=\{ x=(x_n):\ \lim_n x_n =0\}\) è di Banach con la norma:
\[
\| x\|_\infty := \sup_{n\in \mathbb{N}} |x_n|\; .
\]

Chiaramente se \(x\in \ell^1\) allora \(\lim_n |x_n|=0\) (per la condizione necessaria alla convergenza della serie \(\sum |x_n|\)); conseguentemente \(\lim_n x_n =0\) e \(x\in c_0\). Ciò mostra che \(T\) è ben definita.

La linearità di \(T\) è evidente.
Che sia limitata, si prova così. Fissato \(x=(x_n)\in \ell^1\), si ha \(\lim_n |x_n|=0\); dunque \(\| x\|_\infty\) è necessariamente un massimo, i.e. esiste certamente un \(k\in \mathbb{N}\) tale che:
\[
|x_k|=\sup_{n\in \mathbb{N}} |x_n| = \| x\|_\infty\; ;
\]
pertanto si ha:
\[
\| x\|_\infty =|x_k| \leq \sum_{n=k}^\infty |x_n| \leq \| x\|_1
\]
ossia:
\[
\| Tx\|_\infty \leq \| x\|_1
\]
e \(T\) è limitata e perciò continua.

Ora, però, \(T(\ell^1) = \ell^1\) non è chiuso in \(c_0\) rispetto alla norma \(\| \cdot \|_\infty\). Per mostrare ciò, notiamo innanzitutto che la classe delle successioni definitivamente nulle, i.e.:
\[
c_{00} := \{ x=(x_n):\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu,\ x_n=0\}\; ,
\]
è contenuta in \(\ell^1\), dunque \(T(c_{00})=c_{00}\) è contenuto in \(T(\ell^1)\); però è noto che \(c_{00}\) è un sottospazio proprio e denso di \( c_0\), cioè:
\[
c_{00} \subset c_0\qquad \text{e} \qquad \overline{c_{00}}^{\| \cdot \|_\infty} =c_0
\]
(qui il simbolo \(\overline{\cdot}^{\| \cdot \|_\infty}\) denota la chiusura rispetto alla norma \(\| \cdot \|_\infty\)), e ciò implica:
\[
c_0=\overline{c_{00}}^{\| \cdot \|_\infty} \subseteq \overline{\ell^1}^{\| \cdot \|_\infty} \subseteq c_0 \quad \Rightarrow \quad \overline{\ell^1}^{\| \cdot \|_\infty} =c_0\; .
\]
Ora, se per assurdo \(T(\ell^1) = \ell^1\) fosse chiuso in \(c_0\), per la precedente sarebbe \(\ell^1 = \overline{\ell^1}^{\| \cdot \|_\infty} =c_0\); ma ciò è assurdo, perché la successione \(\xi =(\frac{1}{n+1})\) è in \(c_0\) ma non sta in \(\ell^1\) (in quanto \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}\) diverge).
Conseguentemente, il range di \(T\) non è chiuso in \(c_0\).