Controesempio falsa contrazione

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Sto cercando, senza esito, un esempio di applicazione $A:R\to R$, con \((R,\rho)\) spazio metrico completo, tale che \(\rho(Ax,Ay)<\rho(x,y)\) per ogni $x,y\in R,x\ne y$ per avere un controesempio ad un'erronea generalizzazione del teorema di Banach-Caccioppoli.
Suppongo che ci possano essere controesempi piuttosto standard, ma nonostante i miei maldestri tentativi di costruire una tale funzione, non mi viene niente...
Grazie a tutti!!!

[DajeForte]

$Ax = r$ per ogni $x in R$ soddisfa quello che dici ma non credo quello che vuoi.
$R=(0,1)$ e $Ax=x^2$ ti può andare?

[DavideGenova1]

$\infty$ grazie per la risposta, ma dovevo essere più specifico: cerco un controesempio nel senso che tale applicazione non deve avere alcun punto fisso...

[dissonance]

Non è difficile. $f(x)=x-1$, per esempio.

[foreverkikka]

La funzione esibita come controesempio da Dissonance non funziona se vogliamo che sia
\( \rho(Ax,Ay)<\rho(x,y) \) per ogni $ x,y\in R,x\ne y $.

Ti propongo un controesempio classico mostratomi a lezione. Prendi
$A(x)= x+\frac{1}{x}$
Essa non ha punti fissi e, lavorando nel chiuso $[1,+\infty)$, verifica la condizione
\( \rho(Ax,Ay)<\rho(x,y) \) per ogni $ x,y\in R,x\ne y $.

Ps: Ricorda poi che un chiuso di uno spazio metrico completo è a sua volta completo.

[DavideGenova1]

"Marie-Sophie":Ti propongo un controesempio classico mostratomi a lezione. Prendi
$ A(x)= x+\frac{1}{x} $

Bello! Supponevo che esistesse un qualche esempio più o meno standard...
Grazie di cuore a tutti e tre!!!

[DajeForte]

Prego ( di averti dato la risposta sbagliata )

Qua un'altra referenza

http://math.stackexchange.com/questions ... nt-theorem

[DavideGenova1]

"DajeForte":http://math.stackexchange.com/questions/266296/counterexample-for-the-fixed-point-theorem

Interessante! Pensare che ho cercato tanto in rete, googlando in inglese come al solito, senza vederlo... Grazie ancora!!!