Contnuità e uniforme continuità
Qualcuno sa dirmi la differenza tra continuità e uniforme continuità?
Risposte
Per aiutarti a capire la differenza tra 'continuità uniforme' e 'semplice continuità' ricorrerò ad un esempio 'classico': la funzione $f(x)=1/x$ è continua in tutti i punti dell'intevallo $0
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Gran bell'aiuto hai dato....
Una funzione è uniformemente continua se "non si impenna troppo". Detto in modo preciso $f$ è informemente continua se per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale per cui per ogni $x,y$ nel dominio di $f$ con $|x-y|<\delta$ si ha $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. Cosa c'è di diverso dalla continuità? che il $\delta$ è uniforme rispetto alla scelta dei punti $x$ e $y$. E' quindi una condizione più forte della continuità.
Teoremi banali e non banali:
1) Se $f$ è uniformemente continua allora è continua.
2) Se $f$ è continua su un compatto allora è uniformemente continua.
Una funzione è uniformemente continua se "non si impenna troppo". Detto in modo preciso $f$ è informemente continua se per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale per cui per ogni $x,y$ nel dominio di $f$ con $|x-y|<\delta$ si ha $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. Cosa c'è di diverso dalla continuità? che il $\delta$ è uniforme rispetto alla scelta dei punti $x$ e $y$. E' quindi una condizione più forte della continuità.
Teoremi banali e non banali:
1) Se $f$ è uniformemente continua allora è continua.
2) Se $f$ è continua su un compatto allora è uniformemente continua.
Quindi nela continuità il $\delta$ dipende dalla $\epsilon$ cosa che non accade nell'uniforme continuità?
Esattamente!E' precisamente com ehai detto.
Il $delta $ dipende sempre da $epsilon$ ; nella uniforme continuità $delta $ non dipende dal punto $x $ scelto ; si può trovare un $delta$ che vada bene per ogni $x $ .
Esatto, come dice Camillo; avere un $\delta$ che non dipende da $\epsilon$ porta ad una definizione di scarsa utilità, troppo restrittiva.
Una funzione continua su tutto $RR$ e non limitata è uniformemente continua su $RR$? Tipo $x^n, n in NN$ oppure $e^x$
Se, come dice Luca, l'uniforme continuità è di scarsa utilità, perché se ne introduce il concetto? Qualche applicazione ce l'ha almeno?
Se, come dice Luca, l'uniforme continuità è di scarsa utilità, perché se ne introduce il concetto? Qualche applicazione ce l'ha almeno?
$y=x$ è uniformemente continua su $\RR$, e non è limitata.
Quanto alla scarsa utilità io non mi riferivo alla definizione di uniforme continuità, ma all'errore di -Veon- il quale credeva che il $\delta$ non dipendesse da $\epsilon$.
Per inciso l'applicazione elementare più importante dell'uniforme continuità è l'integrabilità secondo Riemann delle funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato.
Quanto alla scarsa utilità io non mi riferivo alla definizione di uniforme continuità, ma all'errore di -Veon- il quale credeva che il $\delta$ non dipendesse da $\epsilon$.
Per inciso l'applicazione elementare più importante dell'uniforme continuità è l'integrabilità secondo Riemann delle funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato.
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