Continuità$\Rightarrow$misurabilità
Ciao, amici! Volevo chiedere conferma del fatto che qualunque funzione $f:X\to\mathbb{C}$ ($f:X\to\mathbb{R}$) continua su qualunque sottospazio topologico/metrico $X$ di $\mathbb{R}$ è misurabile secondo Lebesgue (con misura di Lebesgue definita come prolungamento della lunghezza degli intervalli).
Mi sembra del tutto ovvio (per quanto detto a p. 279 qui), ma, ultimamente, tendo a convincermi di cose del tutto infondate...
Grazie a tutti!!!
Mi sembra del tutto ovvio (per quanto detto a p. 279 qui), ma, ultimamente, tendo a convincermi di cose del tutto infondate...
Grazie a tutti!!!
Risposte
La \(\sigma\)-algebra su cui è definita la misura di Lebesgue contiene gli aperti.
Già, come è reso possibile dalla base numerabile di intervalli aperti posseduta da $\mathbb{R}$. Grazie di cuore!
Quale definizione hai/avete di funzione Lebesgue misurabile per $f:RR mapsto RR$?
$X$ sia un insieme con una data misura $\mu$, $\sigma$-additiva, definita nella $\sigma$-algebra $\mathfrak{S}_{\mu}$ [di sottoinsiemi di $X$]. Una funzione $f:X\to\mathbb{R}$, o $f:X\to\mathbb{C}$, si dice $\mu$-misurabile se per ogni insieme di Borel $A$ del codominio si ha \(f^{-1}(A)\in\mathfrak{S}_{\mu}\) (p. 278 qui).
Se $\mu$ è la misura $\sigma$-additiva di Lebesgue definita su una $\sigma$-algebra $\mathfrak{S}_{\mu}$, $f$ è misurabile secondo Lebesgue. Nel caso in cui $X\subset \mathbb{R}$ la misura di Lebesgue si intende costruita come prolungamento della misura definita dalla lunghezza degli intervalli (pp. 253 e 258 qui).
Se $\mu$ è la misura $\sigma$-additiva di Lebesgue definita su una $\sigma$-algebra $\mathfrak{S}_{\mu}$, $f$ è misurabile secondo Lebesgue. Nel caso in cui $X\subset \mathbb{R}$ la misura di Lebesgue si intende costruita come prolungamento della misura definita dalla lunghezza degli intervalli (pp. 253 e 258 qui).
Perfetto. Come si fa in generale uno considera il dominio come spazio misurabile ed il codominio come spazio topologico sul quale appoggia la sigma algebra di Borel.
Ti faccio notare che se $f:X mapsto Y$, dove su X ed Y hai definito delle sigma algebre (magari come detto sopra, ma anche no), più ingrandisci la sigma algebra del dominio più aumenti l'insieme delle funzioni misurabili; al contrario più ingrandisci la sigma algebra del codominio più restringi questo insieme.
Nel tuo caso se consideri X=Y=R, con le sigma algebre di Borel, hai che ogni funzione continua è (B,B) misurabile (penso tu sappia il perchè).
Se passi alla misurabilità (L,B) aumenti le funzioni misurabili; dunque le funzioni continue rimangono misurabili.
Al contrario se passi alla misurabilità (L,L) richiedi che più insiemi abbiano preimmagine misurabile. Esistono infatti funzioni che sono continue, ma non sono (L,L) misurabili.
Ti faccio notare che se $f:X mapsto Y$, dove su X ed Y hai definito delle sigma algebre (magari come detto sopra, ma anche no), più ingrandisci la sigma algebra del dominio più aumenti l'insieme delle funzioni misurabili; al contrario più ingrandisci la sigma algebra del codominio più restringi questo insieme.
Nel tuo caso se consideri X=Y=R, con le sigma algebre di Borel, hai che ogni funzione continua è (B,B) misurabile (penso tu sappia il perchè).
Se passi alla misurabilità (L,B) aumenti le funzioni misurabili; dunque le funzioni continue rimangono misurabili.
Al contrario se passi alla misurabilità (L,L) richiedi che più insiemi abbiano preimmagine misurabile. Esistono infatti funzioni che sono continue, ma non sono (L,L) misurabili.
Molto, molto, molto interessante! Un "grazie" tale che \(\mu\)(grazie)$=+\infty$! 
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