Continuità,derivabilità e differenziabilità
Ciao a tutti...qualcuno è così gentile da potermi dire se questa funzione è continua,derivabile,differenziabile nel punto (0,0)??Io ho seguito questo procedimento e mi viene fuori che la funzione è sia continua che derivabile e quindi differenziabile nel punto (0,0).Il mio procedimento ritenete che sia giusto?????
Allora la funzione è la seguente:
\(\f(x,y)=(xy^3)/(x^2+y^6) \)
Per verificare la continuità ho fatto un cambio di variabili e ho fatto il limite per ρ che tende a zero :
\(\x=ρcosθ
y= ρsenθ \)
dunque:
\(\lim┬(ρ→0) (ρcosθ*ρ^3 sen^3 θ)/( ρ^2 cos^2 θ+ρ^6 sen^6 θ) = \)
\(\lim┬(ρ→0) (ρ^4 cosθ*sen^3 θ)/(ρ^2 (cos^2θ+ρ^4 sen^6 θ)= \)
\(\lim┬(ρ→0) (ρ^2 sen^3 θ)/cosθ \)
il numeratore essendo:
\(\ρ^2 sen^3 θ \)
faccio:
\(\|ρ^2 sen^3 θ|≤ρ^2 \)
e quindi per ρ che tende a zero il limite fa zero e la funzione è continua nel punto (0,0)
Per vedere se la funzione è derivabile nel punto (0,0) ho fatto:
\(\δf/δx=lim┬(h→0) (f(0+h,0)-f(0,0))/h =lim┬(h→0) 0/h=0 \)
Lo stesso ho fatto rispetto ad y e le due derivate parziali vengono entrambe zero
Ora come faccio a vedere se è differenziabile???
aiuto;))!!!
Allora la funzione è la seguente:
\(\f(x,y)=(xy^3)/(x^2+y^6) \)
Per verificare la continuità ho fatto un cambio di variabili e ho fatto il limite per ρ che tende a zero :
\(\x=ρcosθ
y= ρsenθ \)
dunque:
\(\lim┬(ρ→0) (ρcosθ*ρ^3 sen^3 θ)/( ρ^2 cos^2 θ+ρ^6 sen^6 θ) = \)
\(\lim┬(ρ→0) (ρ^4 cosθ*sen^3 θ)/(ρ^2 (cos^2θ+ρ^4 sen^6 θ)= \)
\(\lim┬(ρ→0) (ρ^2 sen^3 θ)/cosθ \)
il numeratore essendo:
\(\ρ^2 sen^3 θ \)
faccio:
\(\|ρ^2 sen^3 θ|≤ρ^2 \)
e quindi per ρ che tende a zero il limite fa zero e la funzione è continua nel punto (0,0)
Per vedere se la funzione è derivabile nel punto (0,0) ho fatto:
\(\δf/δx=lim┬(h→0) (f(0+h,0)-f(0,0))/h =lim┬(h→0) 0/h=0 \)
Lo stesso ho fatto rispetto ad y e le due derivate parziali vengono entrambe zero
Ora come faccio a vedere se è differenziabile???
aiuto;))!!!
Risposte
grazie per le numerose risposte-.-
[xdom="Rigel"]Attento agli up prima di 24 ore.[/xdom]
Se valuti \(f(y^3, y)\) ti accorgi che la tua conclusione non è corretta (il limite della funzione nell'origine non esiste).
Se valuti \(f(y^3, y)\) ti accorgi che la tua conclusione non è corretta (il limite della funzione nell'origine non esiste).
"lorenzcollixx":
grazie per le numerose risposte-.-
Beh, cos'è quella faccia? Nessuno è obbligato a rispondere, non trovi?
Ad ogni modo, hai fatto un pasticcio! Cerca di scrivere un po' meglio, altrimenti le possibilità che qualcuno ti risponda tendono a $0$. Un altro bel pasticcio l'hai fatto nel calcolo del primo limite: considera la restrizione di $f$ alla curva $x=y^3$ e vedi che succede...
EDIT: @Rigel, scusa
non m'ero accorto della tua risposta...
mmm....interessa anche a me questo topic perché leggendo le vostre risposte avrei commesso lo stesso errore se mi fosse capitato.
quindi, quello che chiedo, abbiamo sbagliato il calcolo del limite....giusto??
dove è l'errore??
grazie mille
quindi, quello che chiedo, abbiamo sbagliato il calcolo del limite....giusto??
dove è l'errore??
grazie mille
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