Continuità uniforme funzione a due variabili
ragazzi sono nuovo del forum e avrei bisogno di un piccolo aiuto per quanto riguarda un esercizio.
Allora:
Studiare la continuità in (0,0) della funzione:
$x/sqrt(y)$ posta uguale a zero in (0,0).
Questo punto è già stato risolto da me prendendo in considerazione il fatto che il limite della funzione data per (0,0) non esiste.Dunque la funzione non è continua.
Stabilira se la funzione è uniformemente continua in $D=((x,y)AA|x|<=y<=2)$.
Per il secondo punto non so proprio come muovermi.Hep me.
Allora:
Studiare la continuità in (0,0) della funzione:
$x/sqrt(y)$ posta uguale a zero in (0,0).
Questo punto è già stato risolto da me prendendo in considerazione il fatto che il limite della funzione data per (0,0) non esiste.Dunque la funzione non è continua.
Stabilira se la funzione è uniformemente continua in $D=((x,y)AA|x|<=y<=2)$.
Per il secondo punto non so proprio come muovermi.Hep me.
Risposte
Se riscrivi un po' meglio il dominio in cui devi verificarne l'uniforme continuità, magari qualcuno ti darà una mano..
scusami, il dominio è $D=((x,y)inRR^2 |x|<=y<=2)$
il dominio è ancora scritto male?
Quel per ogni mi pare strano..
Comunque quel dominio dovrebbe essere un rettangolo compreso tra $-2$ e $2$ (sulle ascisse) e limitato sopra da $y=2$ e sotto da $y=0$ (ovviamente il dominio esclude terzo e quarto quadrante, asse delle ascisse compreso).
Però in teoria l'origine fa parte di $D$, quindi l'esercizio mi sembra quasi banale, visto che la funzione non è continua in un punto di $D$.
Comunque quel dominio dovrebbe essere un rettangolo compreso tra $-2$ e $2$ (sulle ascisse) e limitato sopra da $y=2$ e sotto da $y=0$ (ovviamente il dominio esclude terzo e quarto quadrante, asse delle ascisse compreso).
Però in teoria l'origine fa parte di $D$, quindi l'esercizio mi sembra quasi banale, visto che la funzione non è continua in un punto di $D$.
Infatti anche a me,solo che il dominio non è proprio un rettangolo.Rappresentandolo graficamente assomiglia più a un triangolo.Se in (0,0) la funzione non è continua come fa ad esserlo uniformemente nel punto (0,0) che appartiene al dominio D?Quest'esercizio sta nel plico della mia professoressa di analisi 2 dell università.
non vorrei cadere nella banalità di affermare qualcosa di sciocco...
Ma sei sicuro che sia scritto così quel dominio? Posso vedere l'esercizio?
Comunque il triangolo io non lo vedo proprio.
Comunque il triangolo io non lo vedo proprio.
L'esercizio è il seguente.
Data la funzione
$f(x,y)=x/sqrt(y)$ posta uguale a 0 in $(0,0)$,
Stabilire se la stessa è continua in $(0,0)$.(La risposta è evidentemente no).
La funzione è uniformemente continua in $D=(x,y):|x|<=y<=2$ ?(è scritto proprio così).
Per la rappresentazione grafica del dominio, io ho preso in considerazione le due bisettici:
$y=x$ se x>0,
$y=-x$ se x<0,
e naturalmente la retta $y=2$.Dal mio grafico è un triangolo che ha vertice proprio in $(0,0)$.Poi non so.
Data la funzione
$f(x,y)=x/sqrt(y)$ posta uguale a 0 in $(0,0)$,
Stabilire se la stessa è continua in $(0,0)$.(La risposta è evidentemente no).
La funzione è uniformemente continua in $D=(x,y):|x|<=y<=2$ ?(è scritto proprio così).
Per la rappresentazione grafica del dominio, io ho preso in considerazione le due bisettici:
$y=x$ se x>0,
$y=-x$ se x<0,
e naturalmente la retta $y=2$.Dal mio grafico è un triangolo che ha vertice proprio in $(0,0)$.Poi non so.
"MILITO1991":
La funzione è uniformemente continua in $D=(x,y):|x|<=y<=2$ ?(è scritto proprio così).
Che differenza c'è tra "continua" e "uniformemente continua" ?
Sì che stupido, hai ragione: è un triangolo (finalmente ci hai messo il "tale che"). Stavo pensando che se la funzione fosse stata $sqrt(x)/y$, in quel dominio la funzione sarebbe stata continua nell'origine, perchè avresti escluso la curva su cui il limite è diverso.
Invece questa rimane discontinua in $ul(0)$ perchè la parabola $y=x^2$ sta in $D$.
Per Quinzio: una $f:E sube RR^2->RR$ si dice uniformemente continua su $E$ se per ogni $epsilon>0$ esiste $delta=delta(epsilon)$ tale che per ogni $ul(x), ul(y) in E$ per cui $||ul(x)-ul(y)||< delta$ si ha $|f(ul(x))-f(ul(y))|< epsilon$.
Invece questa rimane discontinua in $ul(0)$ perchè la parabola $y=x^2$ sta in $D$.
Per Quinzio: una $f:E sube RR^2->RR$ si dice uniformemente continua su $E$ se per ogni $epsilon>0$ esiste $delta=delta(epsilon)$ tale che per ogni $ul(x), ul(y) in E$ per cui $||ul(x)-ul(y)||< delta$ si ha $|f(ul(x))-f(ul(y))|< epsilon$.
Non sono proprio sicuro che la parabola sia contenuta nel dominio..
Questa svista ce l'ho sempre in effetti XD, la parabola è contenuta in $D$ solo per $|x| > 1$, quindi è proprio quello che speravo di ottenere, perchè quando $|x|<1$ la curva su cui il limite nell'origine è diverso da $0$ è fuori da ciò che stiamo considerando. Tutto per dire che in $D$ quella funzione è continua in ogni punto..
Quindi, che si fa? C'è un bel teorema molto famoso che si applica su insiemi compatti di qualsiasi spazio metrico che può venire in aiuto adesso.
Quindi, che si fa? C'è un bel teorema molto famoso che si applica su insiemi compatti di qualsiasi spazio metrico che può venire in aiuto adesso.
Non credo di essere a conoscenza di questo teorema (anche se suppongo debba essere quello di cantor) e non riesco a seguire la logicità del tuo discorso..
Prova a disegnare il dominio $D$ e la parabola $y=x^2$.
sono d'accorso che per $|x|<1$ la parabola è contenuta nel dominio, ma con questo?
Veramente è l'esatto contrario, leggi bene quello che ho scritto.
Comunque in sostanza la questione è: siccome la curva su cui salta l'unicità del limite in $ul(0)$ della funzione nel suo insieme di definizione è esclusa dal dominio $D$ si può effettuare questa maggiorazione, valida finchè $|x|<=y => |x|/y <= 1$: $| x/ sqrt(y) | = | x/ y | | y/sqrt(y)| <= |sqrt(y)| -> 0$ per $(x,y)->(0,0)$.
Quindi la funzione è continua in $D$ e $D$ è compatto, in quanto chiuso (contiene tutti bordi del triangolo) e limitato (il suo diametro dovrebbe essere $2$).
Per il teorema di Heine-Cantor (se non lo conosci leggi su wiki che è fatto abbastanza bene), la funzione è uniformemente continua su $D$.
Comunque in sostanza la questione è: siccome la curva su cui salta l'unicità del limite in $ul(0)$ della funzione nel suo insieme di definizione è esclusa dal dominio $D$ si può effettuare questa maggiorazione, valida finchè $|x|<=y => |x|/y <= 1$: $| x/ sqrt(y) | = | x/ y | | y/sqrt(y)| <= |sqrt(y)| -> 0$ per $(x,y)->(0,0)$.
Quindi la funzione è continua in $D$ e $D$ è compatto, in quanto chiuso (contiene tutti bordi del triangolo) e limitato (il suo diametro dovrebbe essere $2$).
Per il teorema di Heine-Cantor (se non lo conosci leggi su wiki che è fatto abbastanza bene), la funzione è uniformemente continua su $D$.
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