Continuità uniforme e derivate

[Fox4]

Sia $U$ un aperto LIMITATO di $\mathbb{R}$

Presa $f:U->\mathbb{R}$ uniformemente continua posso dire che ammette massimo e minimo (è limitata)

se invece $f$ è continua non posso dire che sia uniformemente continua se non riesco ad affermare che $f$ è anche limitata

La mia domanda è:
come mi lego alle derivate?
ovvero se f è uniformemente continua e $C^1$ posso affermare che la derivata è limitata? Non so come impostare la cosa per dimostrarlo o confutarlo... un aiuto?

[dissonance]

"Fox":ovvero se f è uniformemente continua e $C^1$ posso affermare che la derivata è limitata? Non so come impostare la cosa per dimostrarlo o confutarlo... un aiuto?

La derivata limitata ti dà la Lipschitzianità che è molto più della sola continuità uniforme. Quindi ti basta trovare una funzione uniformemente continua ma non Lipschitziana che sia anche derivabile: io direi che $sqrt(x)$ per $0
Nota: $sqrt(x)$ non è Lipschitziana ma è $1/2$-Hoelderiana. Volendo puoi trovare esempi di funzioni uniformemente continue, derivabili, ma non $alpha$-Hoelderiane per nessun $alpha\in(0, 1]$.

P.S.: Hai mai visto questa paginetta? Se no, te la consiglio.

[gugo82]

"Fox":Sia $U$ un aperto LIMITATO di $\mathbb{R}$

Presa $f:U->\mathbb{R}$ uniformemente continua posso dire che ammette massimo e minimo (è limitata)

Piccola precisazione.
Dire che "$f$ è limitata" e dire che "$f$ ha massimo e minimo" sono cose totalmente distinte se l'insieme di definizione non è compatto.
Ad esempio, $f(x):=x$ è uniformemente continua in $]0,1[$, limitata, ma priva di massimo e minimo; $f(x)=x(1-x)$ è uniformemente continua in $]0,1[$, limitata, dotata di massimo ma priva di minimo...

Se una funzione è uniformemente continua su un limitato, allora essa è limitata. Per mostrare questa cosa c'è bisogno di tenere presente la seguente proprietà:

"Ogni limitato si può sempre ricoprire con un numero finito d'intervalli d'ampiezza fissata, nel senso che $AAdelta >0, exists N\in NN, exists x_1,\ldots,x_N \in U: U\subseteq \bigcup_(n=1)^N ]x_n-delta,x_n+delta[$"

(questa proprietà è anche detta precompattezza o totale limitatezza).
Infatti, per definizione di continuità uniforme, in corrispondenza di $epsilon=1$ esiste un $delta_1>0$ tale che $AAx,y\in U " con " |x-y| |f(x_n)|-1<|f(x)|<|f(x_n)|+1$; posto $M:=max\{|f(x_1)|,\ldots ,|f(x_n)|\}$, dalla precedente segue che $AAn=1,\ldots ,N$ e $AA x \in U=\bigcup_(n=1)^N U\cap ]x_n-delta_1,x_n+delta_1[$, $|f(x)|

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[Fox4]

ok quindi non è così... grazie dissonance
è che per giustificare un passaggio in un libro avevo ipotizzato questo ma non ero convinto e (giustamente, direi) non riuscivo a dimostrarlo

"Gugo82":
Dire che "$f$ è limitata" e dire che "$f$ ha massimo e minimo" sono cose totalmente distinte se l'insieme di definizione non è compatto.

giusto,giusto hai perfettamente ragione
perdono, mi è scappata!



@ Gugo82: La dimostrazione che mi hai dato si può fare per gli $U\subset \mathbb{R}^n$ per qualche $n\in \mathbb{N}$ perchè per i reali la limitatezza equivale alla totale limitatezza, giusto?
Per spazi metrici dovrei ipotizzare un dominio totalmente limitato o compatto o sequenzialmente compatto.

E un implicazione inversa vale? Cioè sia $f$ continua e limitata in un dominio allora... è uniformemente continua

[gugo82]

"Fox":@ Gugo82: La dimostrazione che mi hai dato si può fare per gli $U\subset \mathbb{R}^n$ per qualche $n\in \mathbb{N}$ perchè per i reali la limitatezza equivale alla totale limitatezza, giusto?
Per spazi metrici dovrei ipotizzare un dominio totalmente limitato o compatto o sequenzialmente compatto.

Totalmente limitato va benissimo.

E visto che vale il teorema di Hausdorff:

$X " totalmente limitato" <=> X " a chiusura compatta" <=> X " a chiusura seq. compatta"$,

la cosa vale anche per i compatti ed i sequenzialmente compatti in ogni tipo di spazio metrico (N.B.: la nozione di totale limitatezza è metrica).

"Fox":E un implicazione inversa vale? Cioè sia $f$ continua e limitata in un dominio allora... è uniformemente continua

Mmmm su questo ci devo pensare un po'...

In effetti se $X$ è totalmente limitato, $C_u(X) \subseteq C_b(X)$ (ove i pedici $u,b$ stanno rispettivamente per uniformly e bounded); mentre se $X$ non è totalmente limitato si può avere anche l'inclusione inversa (ad esempio $f(x)=x$ è uniformemente continua in $RR$ ma non limitata). Quindi si deve certamente fare qualche ipotesi sul dominio di $f$.
L'ipotesi di compattezza del dominio sicuramente basta, poichè in tal caso $f " continua" <=> f " unif. continua"$.
Se, però al posto della compattezza chiediamo solo la totale limitatezza, le cose cambiano...

Ad esempio, prendiamo $X=]0,1]$ ed $f(x)=sin(pi/x)$; evidentemente $f$ è continua e limitata in $X$. Supponiamo, per assurdo che $f$ sia uniformemente continua in $X$: in tal caso esiste un unico prolungamento $\bar(f)$ di $f$ ad $\bar(X)=[0,1]$ uniformemente continuo in $\bar(X)$ (questo è un risultato di prolungamento valido in generale); dovrebbe quindi aversi $\bar(f)(0)=lim_(x\to 0^+) \bar(f)(x)=lim_(x\to 0^+) f(x)$, contro il fatto che $lim_(x\to 0^+) f(x)$ non esiste.
Quindi $f$ non è uniformemente continua su $X$.

[Fox4]

"Gugo82":E visto che vale il teorema di Hausdorff:

$X" totalmente limitato" <=> X" a chiusura compatta" <=>X" a chiusura seq. compatta"$,

la cosa vale anche per i compatti ed i sequenzialmente compatti in ogni tipo di spazio metrico.

Eh si era quello che avevo in mente infatti... solo che non sapevo il nome del teorema...

"Gugo82":
L'ipotesi di compattezza del dominio sicuramente basta, poichè in tal caso $f " continua" <=> f " unif. continua"$.

giusto... dove l'inverso vale per il teorema di Heine-Cantor...

mentre nel caso di $X$ totalmente limitato allora hai fatto vedere che vale solo $C_u(X)\subeC_b(X)$

Bene

grazie dell'aiuto! Mi hai risparmiato un bel girovagare in cerca di spiegazioni dai libri!