Continuità uniforme

[darkmundus]

sul mio libro di analisi c'è scritto che una funzione è uniformemente continua se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che per ogni coppia $x, x' in X$ con $d(x, x') < \delta$ si ha $d(f(x), f(x')) < \epsilon$

ora ricercando sul web, dato che non c'è scritto altro, sono venuto alla conclusione che vuol dire che per ogni piccola variazione in $x$ di una funzione c'è una piccola variazione di $f(x)$
ho capito giusto?

vorrei quindi sapere la differenza con la definizione di continuità in sè, che cambia?


grazie in anticipo, Matteo

[pater46]

In sintesi, la differenza sta nel fatto che questo $\epsilon$ non dipende dai particolari $x_{1,2}$, ma solo dalla distanza tra questi punti.

Ovvero, presi due punti $x_{1,2}$ distanti $\delta$ tra loro, ed altri due punti $x_{3,4}$ distanti anche loro $\delta$, le rispettive $ |f(x_1) - f(x_2)| = | f(x_3) - f(x_4)| = \epsilon $.

Questa proprietà non è verificata in generale per tutte le funzioni continue, vedi ad esempio la funzione $sin(1/x)$.

[darkmundus]

ok grazie, spero di aver inteso bene

[dissonance]

A complemento di quanto detto da pater, consiglio come al solito la pagina di batmath sulla continuità uniforme:

http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm