Continuità uniforme

[Gmork]

Salve,

Vorrei provare che [tex]$f(x)=\frac{1}{x}$[/tex] con [tex]f:]0,1[\to \mathbb{R}[/tex] è continua utilizzando la sola definizione di limite (in quanto calcolandone il limite per [tex]x\to x_0[/tex] è palese che lo sia). Dunque...

Fisso un [tex]\epsilon >0[/tex] e vedo quant'è (se esiste) il valore di [tex]\delta >0 :\forall x\in ]0,1[[/tex] con [tex]|x-x_0|<\delta[/tex] risulta [tex]|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}|<\epsilon[/tex]

Ho provato a risolvere la disequazione ma c'è qualcosa che non mi convince:

Faccio il mcm tra le due frazioni e mi viene [tex]$|\frac{x_{0}-x}{xx_{0}}|<\epsilon$[/tex]

essendo [tex]|x-x_0|=|x_{0}-x|[/tex] moltiplicando entrambi i membri della disequazione per [tex]|xx_0|[/tex] mi risulta [tex]$|x-x_0|<\epsilon(|xx_0|)$[/tex].

Ho fatto bene?

EDIT: il titolo del topic si riferisce al fatto che dopo aver provato che è continua devo provare che non è uniformemente continua

[Luca.Lussardi]

Ti conviene vederlo così: $|x-x_0|/|x x_0|<\epsilon$ ovvero $|1-x_0/x|

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[Gmork]

Dunque....

sono arrivato a questa conclusione:

essendo [tex]0
EDIT: ciò significa che f è continua nel suo dominio ma non è ivi uniformemente continua, giusto?