Continuità Uniforme

[Maryse1]

Sia f: [0,1] -> $R$. Dimostrare o confutare la seguente affermazione:
Se f è derivabile in [0,1] allora la derivata prima f' è uniformemente continua.

Io ho provato a risolverlo con un controesempio. Ho preso f(x)= $ e^x $ che è sicuramente continua su [0,1]
inoltre la sua derivata prima è proprio $ e^x $ ora so per il teorema della crescita al più lineare, la funzione è uniformemente continua se esistono $ A >=0 $ e $ B >=0 $ tali che: $ |f'(x)|<=A+B|x| $ e dato che, questo non è possibile, allora la funzione non è uniformemente continua..
non sono sicura di questo svolgimento e quindi se magari qualcuno mi confermasse, o magari mi dicesse dove sbaglio c:

[gugo82]

Guarda che, per il teorema di Cantor, tutte le funzioni continue in un compatto sono uniformemente continue... Quindi il tuo controesempio non regge proprio.

Ad ogni modo, l'affermazione è falsa, perché esistono funzioni derivabili con derivata discontinua.

[Maryse1]

E' infatti ci stavo pensando prima al teorema di Heine-Cantor e mi sono accorta di aver scritto una cavolata..xD
ad ogni modo come posso dimostrare l'affermazione, applicando semplicemente il teorema a quell'esempio?..

[gugo82]

Cosa vorresti dimostrare?

[Maryse1]

Come faccio a dimostrare o confutare l'affermazione data? io avevo appunto pensato a cercare un controesempio..ma sopra ho scritto una vaccata stratosferica..

[gugo82]

"gugo82":Ad ogni modo, l'affermazione è falsa, perché esistono funzioni derivabili con derivata discontinua.

[Maryse1]

Ah ok, quindi come controesempio basta che prendo una funzione che ha derivata discontinua e quindi dimostro che l'affermazione è sbagliata..ok