Continuità \(\sup f(x)\)

[4mrkv]

Ho \(\varphi(t):\mathbb{R}\supset [a,b]\rightarrow \mathbb{R}^{n}\) derivabile con continuità. Fisso \(t \in [a,b]\) e considero \(h>0\) t.c. \(t+h \in [a,b]\) quindi \(h \in [0,b-t]=H\). Vorrei mostrare con sicurezza che:
\[
\lim_{h \to 0}\left [ \sup_{x \in [t,t+h]}||\varphi ' (x)||\right ]=||\varphi'(t)||
\]
Potrei considerare quanto ho fra parentesi quadre come una funzione \(g(h)\) definita su \(H\) e cercare di mostrare la continuità in \(0\in H\). Vorrebbe dire che dato \(V\ni g(0)=||\varphi '(t)||\) aperto in \(\mathbb{R}\) esiste \(U\) t.c. \(0 \in U \in \tau_{H}\) e \(g(U)\subset V\). Siccome \(U=H\cap O\) con \(O \in \tau_{\mathbb{R}}\) allora esiste un elemento della base di \(\tau_{\mathbb{R}}\) t.c. \(0 \in H\cap B=[0,\delta)\).
>
Vale a dire che come aperto di \(H\) posso considerare \([0,\delta)\) con \(\delta\) tale che \(g([0,\delta))\subset V\). Devo usare la continuità di \(||\varphi '(t)||\)? Dato \(V\) di prima, esiste \(\tilde{U}=[a,b]\cap \tilde{O}\) con \(\tilde{O}\in \tau_{\mathbb{R}}\) e \(||\varphi'(\tilde{U})||\subset V\). Dire \(g([0,\delta))\subset V\) significa cercare i \(\sup\) su \([t,t+\delta)\) e dato che esiste \(\delta\) t.c. \([t,t+\delta)\subset \tilde{U}\) con \(\tilde{\delta}<\delta\) e \([0,\tilde{\delta})\) sono a posto?

[4mrkv]

Se non è chiaro potete chiedere.