Continuità "al bordo" di una funzione elementare

[Riccardo Desimini]

Sia \( f \) la funzione definita da
\[ f(x) = \sqrt{x} \]
Sui libri c'è scritto che questa funzione è continua nel suo insieme di definizione \( D_f = [0, +\infty) \).

Ciò significa che per ogni \( x_0 \in D_f \) esiste ed è uguale a \( f\, (x_0) \) il limite
\[ \lim_{x \rightarrow x_0}\ \sqrt{x} \]

Tuttavia, se \( x_0 = 0 \), si ha \( x_0 \in D_f \) ma il limite
\[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \sqrt{x} \]
non esiste, perché non esiste il limite sinistro.

Da ciò concludo che \( f \) non è continua in \( x_0 = 0 \) e quindi non è vero che è continua in \( D_f \).

Dov'è l'errore in questo ragionamento?

[ciampax]

La definizione di continuità per una funzione definita su un intervallo del tipo $[a,b)$ nel punto $a$ è la seguente:

$\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_\epsilon>0\ :\ a
Che è la forma matematica di quello che già ti ha spiegato TeM.

[Rigel1]

Parzialmente OT:
la confusione di Riccardo probabilmente discende dal fatto che spesso, alle scuole superiori, viene detto che è sbagliato scrivere, ad esempio
\[
\lim_{x\to 0} \log x
\]
e che la forma corretta è
\[
\lim_{x\to 0+} \log x.
\]
Ovviamente, per definizione di limite, anche la prima forma è corretta (e, nel caso in questione, coincide con la seconda).

[Riccardo Desimini]

"ciampax":La definizione di continuità per una funzione definita su un intervallo del tipo $[a,b)$ nel punto $a$ è la seguente:

$\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_\epsilon>0\ :\ a
Che è la forma matematica di quello che già ti ha spiegato TeM.

Non dovrebbe essere \( a \le x
In fondo, quell'intervallo è dato dall'intersezione \( [a, b) \cap B\, (a, \delta_{\epsilon}) \), dove \( B\, (a, \delta_{\epsilon}) \) denota l'intorno di \( a \) di raggio \( \delta_{\epsilon} \).

L'osservazione di Rigel mi ha aperto un mondo.

Ringrazio TeM per la sua interpretazione intuitiva.

[ciampax]

Eh no, nella definizione di limite, il punto verso cui tende $x$ non viene incluso. Altrimenti che limite sarebbe?

[Riccardo Desimini]

Sì lo so, però ragionando così viene:
\[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \sqrt{x} = 0 \]
se e solo se
\[ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0 :\, \forall x \in [0, +\infty),\, \left \vert x \right \vert < \delta \Rightarrow \left \vert f(x) \right \vert < \epsilon \]
cioè
\[ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0 :\, \forall x \in [0, +\infty),\ -\delta < x < \delta \Rightarrow \left \vert f(x) \right \vert < \epsilon \]
dunque
\[ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0 :\, 0 \le x < \delta \Rightarrow \left \vert f(x) \right \vert < \epsilon \]
e quindi mi spunta fuori l'uguale come una semplice conseguenza.

Come faccio a conciliare questo ragionamento con la tua affermazione (sulla quale sono d'accordo, peraltro)?

[ciampax]

"Riccardo Desimini":Sì lo so, però ragionando così viene:
\[ \lim_{x \rightarrow 0}\ \sqrt{x} = 0 \]
se e solo se
\[\underline{ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0 :\, \forall x \in [0, +\infty),\, \left \vert x \right \vert < \delta \Rightarrow \left \vert f(x) \right \vert < \epsilon} \]

Questo è sbagliato: la definizione corretta è questa:

\[\forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0 :\, \forall x \in [0, +\infty),\, \underline{0 < \left \vert x \right \vert < \delta} \Rightarrow \left \vert f(x) \right \vert < \epsilon \]

[Riccardo Desimini]

Strano, perché a pagina 24 di questa dispensa c'è scritto che la condizione che hai aggiunto è opzionale; in effetti, se scelgo la definizione che ho scritto sopra, la condizione risulta vera a priori se considero il caso \( x = a \).

[ciampax]

Ma guarda che lo dice anche Patrone che è indifferente. Quello che voglio sottolineare è che nella definizione che ti ho scritto, mantieni perfettamente la linea con la definizione di limite, per cui, a prescindere dal fato che tu abbia o meno la definizione della funzione in $0$, le cose continuano ad essere vero. Mi spiego?

[Riccardo Desimini]

Sì, ti spieghi, ma allora sopra non ho scritto cose sbagliate, dato che partendo da qui
\[ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0 :\, 0 \le x < \delta \Rightarrow \left \vert f(x) \right \vert < \epsilon \]
basta osservare che per \( x = 0 \) l'affermazione è certamente vera e quindi posso limitarmi a considerare
\[ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0 :\, 0 < x < \delta \Rightarrow \left \vert f(x) \right \vert < \epsilon \]
O no?

[ciampax]

Ma non l'avevi scritto al contrario? Scusa, sono io ad essere un po' rinco, forse.

[Riccardo Desimini]

Non fa niente, l'importante è che ora sia tutto risolto. Ti ringrazio.

[theras]

@Rigel.

"Rigel":Parzialmente OT:
la confusione di Riccardo probabilmente discende dal fatto che spesso, alle scuole superiori, viene detto che è sbagliato scrivere, ad esempio
\[
\lim_{x\to 0} \log x
\]
e che la forma corretta è
\[
\lim_{x\to 0+} \log x.
\]
Ovviamente, per definizione di limite, anche la prima forma è corretta (e, nel caso in questione, coincide con la seconda).

Tutto ciò mi ricorda tremendamente una "polemica" con te ed il rimpianto Speculor ai miei esordi su questo Forum:
la ripristiniamo ?

Saluti dal web.

[Rigel1]

@theras: non ricordo la polemica di cui parli (anche perché non mi sembra ci sia niente su cui polemizzare).