Continuita' norma $L^1$
Ciao a tutti!
Non riesco a provare quanto segue:
Siano $f_k, f in L^1(RR^n)$ tali che $ f_k -> f $ quasi dappertutto su $RR^n$ e $ \int_(RR^n) |f_k|dx -> int_(RR^n) |f|dx$ allora $int_(RR^n) |f_k-f|dx -> 0 $.
Ho pensato di usare il teorema di convergenza dominata, ma non riesco effettivamente a dominare $|f_k-f|$. Idee?
Grazie mille!
Non riesco a provare quanto segue:
Siano $f_k, f in L^1(RR^n)$ tali che $ f_k -> f $ quasi dappertutto su $RR^n$ e $ \int_(RR^n) |f_k|dx -> int_(RR^n) |f|dx$ allora $int_(RR^n) |f_k-f|dx -> 0 $.
Ho pensato di usare il teorema di convergenza dominata, ma non riesco effettivamente a dominare $|f_k-f|$. Idee?
Grazie mille!
Risposte
Beh, questa è una generalizzazione del teorema della convergenza dominata che è assegnata come esercizio su vari testi di Analisi Reale (ad esempio sullo Zygmund)...
In realtà vale anche la versione \(L^p\) del risultato che cerchi ed è quest'ultima che ho dimostrato qui.
In realtà vale anche la versione \(L^p\) del risultato che cerchi ed è quest'ultima che ho dimostrato qui.
Ti ringrazio del consiglio. Non sono ancora riuscita a riadattare la dimostrazione al mio caso molto piu' semplice, ma continuero' a lavorarci.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
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