Continuità NON uniforme

[Gmork]

Salve,

volevo dimostrare che la funzione [tex]f(x)=x^2[/tex] con [tex]f:[0,+\infty[\to \mathbb{R}[/tex] è continua ma non uniformemente continua in tale intervallo.
Sono arrivato a questo punto:

Fisso un [tex]\epsilon >0[/tex] e cerco quel [tex]\delta >0 : \forall x \in [0,+\infty[ , |x-x_0|<\delta \Rightarrow |x^{2}-x_{0}^{2}|<\epsilon[/tex]
poi [tex]|x^{2}-x_{0}^{2}|=|x-x_0||x+x_0|\le |x-x_0|(|x|+|x_0|)[/tex] e mi blocco

In particolare, non sono riuscito a trovare quel [tex]\delta[/tex] che risulti NON indipendente da [tex]x_0[/tex] ma dipendente sia da [tex]\epsilon[/tex] che da [tex]x_0[/tex] che dimostri che in [tex][0,+\infty[[/tex] la [tex]f[/tex] è comunque continua anche se non in maniera uniforme.

[adaBTTLS1]

ma QUALE $delta$ stai cercando di trovare?
uno come quello che hai scritto, cioè che sia indipendente da $x$, NON esiste, appunto perché non è uniformemente continua.
per dimostrare invece che è continua, non puoi scrivere $AA x in ... $
qual è il problema?

[Gmork]

anche se non è uniformemente continua, volevo dimostrare quantomeno che è "semplicemente continua", mostrando però che non esiste un [tex]\delta (\epsilon)[/tex] indipendente da [tex]x_0[/tex] bensì un [tex]\delta (\epsilon , x_0)[/tex]

[adaBTTLS1]

in tal caso non devi scrivere così:

Fisso un [tex]\epsilon >0[/tex] e cerco quel [tex]\delta >0 : \forall x \in [0,+\infty[ , |x-x_0|<\delta \Rightarrow |x^{2}-x_{0}^{2}|<\epsilon[/tex]
poi [tex]|x^{2}-x_{0}^{2}|=|x-x_0||x+x_0|\le |x-x_0|(|x|+|x_0|)[/tex] e mi blocco

In particolare, non sono riuscito a trovare quel [tex]\delta[/tex] che risulti NON indipendente da [tex]x_0[/tex] ma dipendente sia da [tex]\epsilon[/tex] che da [tex]x_0[/tex] che dimostri che in [tex][0,+\infty[[/tex] la [tex]f[/tex] è comunque continua anche se non in maniera uniforme.

non esiste quel "delta" tale che "per ogni x...", ma "per ogni x" esiste un opportuno "delta" tale che..., cioè:

$AA x_0 in [0,+oo), AA epsilon >0, EE delta >0" t.c. se " |x-x_0|
mi sono limitata a trasformare la tua espressione (non mi pare che sia la stessa cosa), anche se non capisco perché ti sei limitato ai valori non negativi.

a questo punto puoi seguire il procedimento che si usa per la verifica di un limite, e ti puoi ricavare l'intorno di $x_0$ per cui $|x^{2}-x_{0}^{2}|

Cita

Segnala

[Gmork]

"adaBTTLS":

anche se non capisco perché ti sei limitato ai valori non negativi.

Scusa, ma non capisco a che parte ti riferisci

"adaBTTLS":
a questo punto puoi seguire il procedimento che si usa per la verifica di un limite, e ti puoi ricavare l'intorno di $x_0$ per cui $|x^{2}-x_{0}^{2}|

è proprio quel [tex]\delta[/tex] che non riesco a trovare. Cioè non riesco a concludere la verifica del limite:

Allora...

dimostrare che [tex]$\lim_{x\to x_0} x^2=x_{0}^2$[/tex] vuol dire che [tex]\forall \epsilon \exists \delta >0 :\forall x \in [0,+\infty[[/tex] con [tex]$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |x^{2}-x_{0}^2|<\epsilon$[/tex]

in cui essendo [tex]$|x^{2}-x_{0}^2|=|x-x_0||x+x_0|$[/tex] dalla proprietà triangolare si ha [tex]$|x+x_0|\le |x|+|x_0|$[/tex]
allora moltiplicando entrambi i termini della disuguaglianza triangolare per [tex]$|x-x_0|$[/tex] si ottiene

[tex]$|x-x_0||x+x_0|\le (|x|+|x_0|)|x-x_0|$[/tex] e qui mi blocco

[adaBTTLS1]

per quanto riguarda la limitazione, non avevo fatto caso che era nel testo: intendevo dire che la funzione non è continua solo in $[0,+oo)$.
ti scrivo come penso si possa fare sulla falsariga dei procedimenti di verifica dei limiti:

$|x^2-x_0^2| {[x^2-x_0^2 -epsilon] :} -> {[-sqrt(x_0^2+epsilon)sqrt(x_0^2-epsilon)] :}$

l'intervallo che ci interessa, intorno di $x_0$, è $sqrt(x_0^2-epsilon)
dunque $delta=min{(sqrt(x_0^2+epsilon)-x_0),(x_0-sqrt(x_0^2-epsilon))}$.

spero di non aver commesso errori e di essere stata chiara. ciao.

[Gmork]

però scusa...

se l'intorno che ci interessa è $\sqrt {x_{0}^{2}-\epsilon}
essendo $x_{0}-\delta

Cita

Segnala

[gugo82]

Aggiungo un po' di considerazioni. Fatene l'uso che meglio credete.

***

Orlok vorrebbe che [tex]$|x-x_0|<\delta$[/tex] implicasse [tex]$|x^2-x_0^2|<\varepsilon$[/tex].

Giustamente Orlok ha trovato che [tex]$|x^2-x_0^2|\leq (|x|+|x_0|)\ |x-x_0|$[/tex].
Ora immaginiamo di prendere [tex]$x$[/tex] in [tex]$]x_0-\delta ,x_0+\delta[$[/tex]: in tal caso la quantità [tex]$|x|$[/tex] sarebbe [tex]$\leq \max \{ |x_0-\delta| , |x_0+\delta|\}[/tex]; ponendo [tex]M(x_0,\delta) :=|x_0|+\max \{ |x_0-\delta|,|x_0+\delta|\}$[/tex], abbiamo [tex]$|x|+|x_0| \leq M(x_0,\delta)$[/tex] e perciò nel nostro intorno risulta:

[tex]$|x^2-x_0^2|\leq M(x_0,\delta) \ \delta$[/tex];

affinché la nostra funzione risulti continua basta scegliere [tex]$\delta$[/tex] in modo che risulti:

(*) [tex]$M(x_0,\delta) \ \delta <\varepsilon$[/tex].

Chiaramente [tex]$x_0$[/tex] gioca un ruolo determinante nella risoluzione della precedente disequazione: infatti, la funzione [tex]$x_0\mapsto M(x_0,\delta)$[/tex] è tale che, per ogni fissato [tex]$\delta >0$[/tex], si ha:

[tex]$\lim_{|x_0|\to +\infty} M(x_0,\delta) =+\infty$[/tex];

ne consegue che più prendiamo [tex]$x_0$[/tex] grande (in valore assoluto), più il maggiore dei [tex]$\delta $[/tex] che risolvono (*) sarà piccolo.
Per questo motivo la nostra funzione non è uniformemente continua in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (si legga fino in fondo per capire perchè).

Vediamo la cosa numericamente. Prendiamo ad esempio [tex]$x_0=1$[/tex]: in tal caso dobbiamo risolvere:

[tex]$(1+\max \{ |1-\delta|,|1+\delta |\})\ \delta <\varepsilon$[/tex];

ma visto che [tex]$\delta >0$[/tex] si ha:

[tex]$|1+\delta| =1+\delta$[/tex] e [tex]$|1-\delta|=\begin{cases} 1-\delta &\text{, se $0<\delta \leq 1$} \\ \delta -1 &\text{, se $\delta \geq 1$}\end{cases}$[/tex]

e graficamente si vede che il valore di [tex]$1+\delta$[/tex] (diagrammato in rosso) è sempre maggiore del valore di [tex]$|1-\delta|$[/tex] (in blu):
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=0;ymax=4;
axes("","");
stroke="red";
plot("1+x",0,4);
stroke="dodgerblue";
plot("abs(1-x)",0,4);[/asvg]
perciò risulta:

[tex]$M(1,\delta)=1+(1+\delta)=2+\delta$[/tex]

e la disequazione da risolvere è [tex]$(2+\delta)\ \delta -\varepsilon <0$[/tex] ossia [tex]$\delta^2 +2\delta -\varepsilon <0$[/tex].
Si vede che le soluzioni positive della disequazione precedente sono i [tex]$\delta$[/tex] tali che [tex]$0<\delta < \sqrt{1+\varepsilon} -1 =: \delta_{\max}(1,\varepsilon)$[/tex].

Altro esempio. Prendiamo ora [tex]$x_0=10$[/tex], di modo che la disequazione diventa [tex]$M(10,\delta)\ \delta -\varepsilon <0$[/tex].
Come sopra si vede che [tex]$M(10,\delta) =10+(10+\delta)$[/tex], quindi dobbiamo risolvere la disequazione di secondo grado:

[tex]$(20+\delta )\ \delta -\varepsilon <0$[/tex] ossia [tex]$\delta^2+20\delta -\varepsilon <0$[/tex].

Con un po' di conti si vede che le soluzioni positive della disequazione sono i valori di [tex]$\delta$[/tex] tali che:

[tex]$0< \delta < \sqrt{100+\varepsilon} -10 =:\delta_{\max} (10,\varepsilon)$[/tex].

Confrontiamo ora i due valori di [tex]$\delta_{\max}$[/tex] ottenuti: abbiamo*:

[tex]$\sqrt{1+\varepsilon} -1 \ldots \sqrt{100+\varepsilon} -10$[/tex]

[tex]$9\ldots \sqrt{100+\varepsilon} -\sqrt{1+\varepsilon}$[/tex]

[tex]$81 \ldots (100+\varepsilon )-2\sqrt{(100+\varepsilon)(1+\varepsilon)} +(1+\varepsilon)$[/tex]

[tex]$81\ldots 101+2\varepsilon -2\sqrt{(100+\varepsilon)(1+\varepsilon)}$[/tex]

[tex]$\sqrt{(100+\varepsilon)(1+\varepsilon)} \ldots 10+\varepsilon$[/tex]

[tex]$(100+\varepsilon)(1+\varepsilon) \ldots 100+20\varepsilon + \varepsilon^2$[/tex]

[tex]$100 + 101\varepsilon +\varepsilon^2 \ldots 100 +20\varepsilon +\varepsilon^2$[/tex]

[tex]$81\varepsilon \ldots 0$[/tex];

visto che tra i due membri dell'ultima linea ci va il segno [tex]$>$[/tex] al posto dei puntini e visto che non abbiamo moltiplicato per numeri negativi passando da una relazione all'altra, il segno [tex]$>$[/tex] va tra tutti i membri delle relazioni precedenti al posto dei puntini; perciò:

[tex]$\delta_{\max} (1,\varepsilon)=\sqrt{1+\varepsilon} -1 > \sqrt{100+\varepsilon} -10 =\delta_{\max} (10,\varepsilon)$[/tex].

__________
* Per sbrigare questi conti uso un metodo particolare che ho illustrato qui.

In generale, per [tex]$x_0\geq 0$[/tex] troverai [tex]$M(x_0,\delta )=2x_0+\delta$[/tex] e [tex]$\delta_{\max} (x_0,\varepsilon) =\sqrt{x_0^2 +\varepsilon} -x_0$[/tex].
Ciò ci consente di dimostrare che [tex]$\forall \varepsilon >0$[/tex] si ha:

(**) [tex]$\lim_{x_0\to +\infty} \delta_{\max} (x_0,\varepsilon) =0$[/tex].

Infatti abbiamo per ogni fissato [tex]$\varepsilon >0$[/tex]:

[tex]$\lim_{x_0\to +\infty} \delta_{\max} (x_0,\varepsilon) =\lim_{x_0\to +\infty} \sqrt{x_0^2 +\varepsilon} -x_0$[/tex]
[tex]$=\lim_{x_0\to +\infty} x_0\ (\sqrt{1 +\frac{1}{x_0^2}\ \varepsilon} -1)$[/tex] (qui uso l'equivalenza tra infinitesimi [tex]$\sqrt{1+y} -1 \approx \frac{y}{2}$[/tex] valida per [tex]$y\to 0$[/tex])
[tex]$=\lim_{x_0\to +\infty} x_0\ \frac{1}{2x_0^2}\ \varepsilon$[/tex]
[tex]$=\lim_{x_0\to +\infty} \frac{\varepsilon}{2x_0} =0$[/tex]

come volevamo.

La relazione di limite appena trovata ti dice proprio che la funzione [tex]$f(x)=x^2$[/tex] non può essere uniformemente continua in [tex]$[0,+\infty[$[/tex]: vediamo perchè.

L'essenza dell'uniforme continuità è espressa dalla seguente frase:

Comunque prendo [tex]$\varepsilon >0$[/tex] esiste almeno un [tex]$\delta_\varepsilon >0$[/tex] che va bene per verificare la definizione di continuità in tutti gli [tex]$x_0 \in [0,+\infty[$[/tex]

ed è evidente che la relazione di limite implica che non esiste un valore [tex]$\delta_\varepsilon$[/tex] con le caratteristiche richieste qui sopra.
Invero, se tale valore [tex]$\delta_\varepsilon$[/tex] esistesse, dovrebbe essere [tex]$\delta_{\max} (x_0,\varepsilon) \geq \delta_\varepsilon$[/tex] per ogni [tex]$x_0\in [0,+\infty[$[/tex]; ma ciò è assurdo, in quanto per la relazione di limite (**) impone che per [tex]$x_0$[/tex] abbastanza grande debba necessariamente risultare [tex]$\delta_{\max} (x_0,\varepsilon) <\delta_\varepsilon$[/tex].
Quindi, come già detto, [tex]$f(x)$[/tex] non è uniformemente continua in [tex]$[0,+\infty[$[/tex].

[Gmork]

Ho un pò di confusione a dir la verità....vedo di rileggere con calma quello che hai scritto. Grazie 1000

Nel frattempo....la strada che abbiamo seguito è corretta?

[gugo82]

Aspetta un po' Orlok, che ho sbagliato un paio di conti; ora vedo di mettere a posto...

Scusami tanto, ma ultimamente sono un po' distratto.


*** Ho modificato il messaggio precedente; ora dovrebbe essere tutto a posto.

[regim]

Ciao, la risposta di Gugo é senz'altro corretta, ma vorrei proporti una dimostrazione alternativa:
Se supponi $x>y $ con $x$ e $y$ opportunamente grandi puoi scrivere $x^2 - y^2 = (x-y)*(x+y)$. Quindi, se supponi per assurdo a partire da un $epsilon > 0$ fissato, l'esistenza di un $delta >0$ tale per cui é soddisfatta la condizione usuale dell'uniforme continuitá, avresti, posto $x-y =delta$ che é sufficiente prendere $x$ e $y$ vicini tra loro ma sufficientmente grandi che $(x-y)*(x+y) < epsilon$ non sia piú soddisfatta, ed esattamente basta che $x+y >epsilon/delta$.

[Gmork]

ma scusa come faccio a porre $x-y=\delta$ se per avere la continuità uniforme di f devo scegliere $|x-y|<\delta$ ???

Il procedimento che avevo seguito, invece, all'inizio del topic, con l'aiuto di ada è comunque valido?

[regim]

Nelle definizioni che riguardano la continuitá o quelle sui limiti etc etc la disuguaglianza stretta é quella che viene riportata, classicamente, tutto funziona lo stesso se le sostituisci con disuguaglianze attenuate.
Il procedimento che hai seguito all'inizio mi é sembrato solo un suggerimento, ma non é completa come dimostrazione rispetto a quanto ti ha proposto subito dopo Gugo, anche la mia dimostrazione é corretta, a parte il fatto che non ho formalizzato tutto il ragionamento come ha fatto Gugo.

[Gmork]

Perchè dici che non è completa? Alla fine l'obiettivo è far vedere che in quel dominio non può esistere un $\delta>0$ dipendente unicamente da $\varepsilon$

@gugo: mi sfugge qualcosa nella considerazione...in particolare quand'è che può succedere che $|x_{0}-\delta|>|x_{0}+\delta|$ se $x_0 \in [0,+\infty)$ ???

[regim]

Perché non intravedo mai una conclusione, e poi scusa ti stai complicando la vita mostruosamente, perché per negare una affermazione é sufficiente trovare anche una sola sua implicazione non vera, quindi ad esempio in questo caso, perché usare i moduli quando puoi farne tranquillamente a meno come ti ho dimostrato nel mio precedente post?
Ciao

[adaBTTLS1]

"Orlok":però scusa...

se l'intorno che ci interessa è $\sqrt {x_{0}^{2}-\epsilon}
essendo $x_{0}-\delta

non mi sono collegata per un paio di giorni... rispondo a questa cosa specifica, spero di aver capito la perplessità:
l'intorno di $x_0$ in cui è verificata la disuguaglianza non è circolare, nel senso che $x_0$ non è il punto medio.
se devi trovare l'intorno in forma $(x_0-delta, x_0+delta)$, devi prendere il minimo dei due valori che ti ho scritto, o un numero positivo ancora più piccolo, per garantirti un intorno circolare in cui sia verificata la disuguaglianza ($|x^2-x_0^2|

Cita

Segnala