Continuità misura e teoremi su successioni
Ciao, amici! Trovo i due seguenti teoremi
dimostrati (pp. 284-286 qui) usando la continuità della misura, nel senso che se \(A_1\supset A_2\supset...\) sono insiemii una $\sigma$-algebra di insiemi misurabili allora \(\mu(\bigcap_{n=1}^\infty A_n)=\lim_n\mu(A_n)\).
Ora, la continuità della misura è dimostrata nel libro (p. 257 qui) in riferimento alla misura finita di Lebesgue nel piano, ma mi è chiaro che tale dimostrazione si estende al caso generale in cui il sistema degli insiemi costituisca una $\sigma$-algebra e \(A_1\) sia contenuto in un insieme di misura finita. L'importanza di tale condizione, nella trattazione nel caso del piano, è sottolineata in una nota (1 a p. 258) in cui si dice che si deve aggiungere al teorema 9 la condizione \(\mu E_1<+\infty\), che immagino significhi ciò (il teso non dice che cosa sia $E_1$, ma non credo di sbagliarmi intendendo che sia un insieme contenente $A_1$).
Il testo tratta poi in generale della misura definendola anche con $+\infty$ (p. 272) come valore che possa assumere e quindi introduce i due teoremi di sopra dimostrandoli con l'utilizzo della continuità della misura, che non è mai stato spiegato se valga anche se gli $A_n$ sono di misura infinita. O si intenderà forse che il dominio delle funzioni $f_n$ sia di misura finita?
$+\infty$ grazie per ogni spiegazione!!!
"A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin in Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale":130esx5x:
Se la successione di funzioni misurabili \(\{f_n(x)\}\) è convergente quasi ovunque a una funzione \(f(x)\), essa sarà convergente in misura alla stessa funzione \(f(x)\).
"A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin in Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale":130esx5x:
La successione di funzioni misurabili \(\{f_n(x)\}\) sia convergente in misura a \(f(x)\). Allora da questa successione si può estrarre una sottosuccessione \(\{f_{n_k}(x)\}\) convergente a \(f(x)\) quasi ovunque.
dimostrati (pp. 284-286 qui) usando la continuità della misura, nel senso che se \(A_1\supset A_2\supset...\) sono insiemii una $\sigma$-algebra di insiemi misurabili allora \(\mu(\bigcap_{n=1}^\infty A_n)=\lim_n\mu(A_n)\).
Ora, la continuità della misura è dimostrata nel libro (p. 257 qui) in riferimento alla misura finita di Lebesgue nel piano, ma mi è chiaro che tale dimostrazione si estende al caso generale in cui il sistema degli insiemi costituisca una $\sigma$-algebra e \(A_1\) sia contenuto in un insieme di misura finita. L'importanza di tale condizione, nella trattazione nel caso del piano, è sottolineata in una nota (1 a p. 258) in cui si dice che si deve aggiungere al teorema 9 la condizione \(\mu E_1<+\infty\), che immagino significhi ciò (il teso non dice che cosa sia $E_1$, ma non credo di sbagliarmi intendendo che sia un insieme contenente $A_1$).
Il testo tratta poi in generale della misura definendola anche con $+\infty$ (p. 272) come valore che possa assumere e quindi introduce i due teoremi di sopra dimostrandoli con l'utilizzo della continuità della misura, che non è mai stato spiegato se valga anche se gli $A_n$ sono di misura infinita. O si intenderà forse che il dominio delle funzioni $f_n$ sia di misura finita?
$+\infty$ grazie per ogni spiegazione!!!
Risposte
In generale, se $A_n$ è una successione crescente, $ lim mu(A_n) = mu(bigcup_n A_n)$.
Se la successione è decrescente, la condizione che $mu (A_1) < + infty$ è necessaria.
Infatti considera la misura di Lebesgue su $(0,infty)$ e considera gli insiemi $A_n=(n,infty)$ ( che sono tutti di misura infinita).
$A_n to emptyset$ ma $mu(A_n)=infty$ che non converge a 0.
Allo stesso modo se consideri le funzioni $f_n=I_{A_n}$ hai che la successione converge puntualmente (e dunque quasi ovunque) a 0 ma non vi converge in misura. Se però lo spazio è di misura finita, allora la convergenza in misura è implicata da quella quasi ovunque. Ad esempio in spazi di probabilità la convergenza quasi certa implica quella in probabilità.
Se ti serve spiego meglio.
Se la successione è decrescente, la condizione che $mu (A_1) < + infty$ è necessaria.
Infatti considera la misura di Lebesgue su $(0,infty)$ e considera gli insiemi $A_n=(n,infty)$ ( che sono tutti di misura infinita).
$A_n to emptyset$ ma $mu(A_n)=infty$ che non converge a 0.
Allo stesso modo se consideri le funzioni $f_n=I_{A_n}$ hai che la successione converge puntualmente (e dunque quasi ovunque) a 0 ma non vi converge in misura. Se però lo spazio è di misura finita, allora la convergenza in misura è implicata da quella quasi ovunque. Ad esempio in spazi di probabilità la convergenza quasi certa implica quella in probabilità.
Se ti serve spiego meglio.
Ah, ecco. Allora si intenderà che il dominio delle funzioni sia di misura finita. In effetti alla p. 281 si dice funzioni definite su uno spazio $X$ a misura fissa: si vede che fissa significherà finita. Nonostante è facile (verificare, dimostrare,...) sia una delle frasi più ricorrenti nel testo, non trovo affatto "facile" destreggiarsi tra filologia, ermeneutica e matematica per estrarre un senso da molti passi del libro. 
Grazie di cuore!!!
Grazie di cuore!!!
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