Continuità integrale dipendente da un parametro

[dRic]

Ciao, vorrei dimostrare questo teorema

Posso fare semplicemente così: (?)

1) prendo una successione $h_n -> 0 $ piccola a sufficienza tale che $x_0 + h_n \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $

2) $u(x_0) - u(x_0 + h_n) = \int_{\Omega} u(x_0, y) dy - \int_{\Omega} u(x_0 + h_n, y) dy = \int_{\Omega} [u(x_0, y) - u(x_0 + h_n, y) ]dy$

3) Faccio il limite
$lim_{n->+\infty} u(x_0) - u(x_0 + h_n) = lim_{n->+\infty} \int_{\Omega} [u(x_0, y) - u(x_0 + h_n, y) ]dy$

4) Applico il teorema della convergenza dominata (perché le condizioni ci sono per ipotesi) e quindi posso scambiare limite e integrale:
$ ... = \int_{\Omega} lim_{n->+\infty} [u(x_0, y) - u(x_0 + h_n, y) ]dy = 0$

Fine ?

Grazie a chi a voglia di controllare

[gugo82]

Mi pare semplice più di quanto la fai.

Fissata arbitrariamente una successione $(x_n)$ che tenda ad $x_0$ e posto $k_n(y) := k(x_n,y)$, puoi applicare la Convergenza Dominata per l’ipotesi 2 e stabilire che:
\[
\lim_n \int_\Omega k_n(y)\ \text{d} y = \int_\Omega \lim_n k_n(y)\ \text{d} y \; ;
\]
il limite sotto l’ultimo integrale si calcola sfruttando l’ipotesi 1 e ti restituisce $k(x_0,y)$ q.o., sicché hai finito.

[dRic]

Ma il teo della convergenza dominata non chiede che $k_n(x, y) <= g(y)$ per ogni x nell'intorno e per ogni n? Quindi quando vado a scegliere la successione non devo specificare che deve essere abbastanza piccola da stare nell'intorno? E' per quello che l'ho allungata.

[gugo82]

Definitivamente.