Continuità indefinita
L'altro giorno mi è venuta in mente una funzione:
$f(x)=(2x-4)/(x^3-8)$
L'ho pensata in modo da avere un limite nella forma indeterminata per $x\to2$.
Se volessimo calcolare il campo di esistenza, a prima vista, verrebbe da dire $x\ne2$.
Questa funzione, in realtà, può essere scritta nella forma:
$f(x)=(2*(x-2))/((x-2)*(x^2+2x+4))$
Che equivale a:
$f(x)=(2)/(x^2+2x+4)$
Il cui campo di esistenza è tutto $\mathbb{R}$, perché il denominatore non si annulla mai.
Proponendola in classe, molti si sono opposti a questo campo di esistenza affermando che la funzione non è continua in $2$, perché quando effettuo la semplificazione devo considerare $x\ne2$.
In realtà, se sostituisco $2$ all'interno della funzione ho una forma indeterminata. Ma se ne calcolo il limite, basta utilizzare de l'hopital per risolvere:
$\lim_{x\to2}(2x-4)/(x^3-8)=^h \lim2/(3x^2)=1/6$
Tuttavia, per poter affermare definitivamente che la funzione è continua, devo dimostrare che:
$\lim_{x\to2}f(x)=f(2)$
Ma $f(2)$ è una forma indeterminata!
Ovviamente il problema può essere ricondotto alla più semplice funzione $f(x)=x/x$. Lasciata in questa forma, non dovrebbe essere definita in $0$, ma in realtà questa funzione è la costante $f(x)=1$, la cui continuità è costante. Ma nella forma $x/x$, seguendo lo stesso ragionamento ci si blocca sempre allo stesso punto
$f(x)=(2x-4)/(x^3-8)$
L'ho pensata in modo da avere un limite nella forma indeterminata per $x\to2$.
Se volessimo calcolare il campo di esistenza, a prima vista, verrebbe da dire $x\ne2$.
Questa funzione, in realtà, può essere scritta nella forma:
$f(x)=(2*(x-2))/((x-2)*(x^2+2x+4))$
Che equivale a:
$f(x)=(2)/(x^2+2x+4)$
Il cui campo di esistenza è tutto $\mathbb{R}$, perché il denominatore non si annulla mai.
Proponendola in classe, molti si sono opposti a questo campo di esistenza affermando che la funzione non è continua in $2$, perché quando effettuo la semplificazione devo considerare $x\ne2$.
In realtà, se sostituisco $2$ all'interno della funzione ho una forma indeterminata. Ma se ne calcolo il limite, basta utilizzare de l'hopital per risolvere:
$\lim_{x\to2}(2x-4)/(x^3-8)=^h \lim2/(3x^2)=1/6$
Tuttavia, per poter affermare definitivamente che la funzione è continua, devo dimostrare che:
$\lim_{x\to2}f(x)=f(2)$
Ma $f(2)$ è una forma indeterminata!
Ovviamente il problema può essere ricondotto alla più semplice funzione $f(x)=x/x$. Lasciata in questa forma, non dovrebbe essere definita in $0$, ma in realtà questa funzione è la costante $f(x)=1$, la cui continuità è costante. Ma nella forma $x/x$, seguendo lo stesso ragionamento ci si blocca sempre allo stesso punto
Risposte
La funzione non è definita in $2$, ma è una discontinuità eliminabile e nel resto dello studio di funzione puoi di fatto usare la frazione continua su tutto $RR$, tenendo conto che però $x\ne2$
Non sono proprio d'accordo. La cosa giusta sarebbe dire questo: il dominio della funzione originale è $D=(-\infty, 2)\cup(2,+\infty)$. Visto che il limite in $x=2$ esiste finito, allora possiamo definire la nuova funzione
$F(x)={(f(x)\qquad x\ne 2),(1/6\qquad x=2):}$
In questo modo la funzione $F(x)$ (che si dice estensione della $f$) risulta continua.
$F(x)={(f(x)\qquad x\ne 2),(1/6\qquad x=2):}$
In questo modo la funzione $F(x)$ (che si dice estensione della $f$) risulta continua.
Ma quindi $f(x)=x/x$ non è definita in $0$?
E se effettuo la semplificazione devo necessariamente portarmi dietro $x\ne0$?
Eppure $x/x\equiv1$, quindi in $0$ dovrebbe essere definita...
E se effettuo la semplificazione devo necessariamente portarmi dietro $x\ne0$?
Eppure $x/x\equiv1$, quindi in $0$ dovrebbe essere definita...
Mi stai dicendo che tu sai dividere per zero??????
"ciampax":
Mi stai dicendo che tu sai dividere per zero??????
No, sto dicendo che se la funzione è considerata come equivalente a $f(x)=1$, allora è definita in $0$...
(e poi dividere per zero è facile
)
A parte la battuta della sfera di Riemann, mi spieghi cosa intendi per "equivalente"?
http://tinyurl.com/qdbsbb
Mi ha calcolato il valore della funzione in $x=2$, facendo la semplificazione che ho fatto io.
Quindi è definita!
Ho bisogno di qualcosa di forte per dimostrare/smentire ciò, perché non sono convinto più di nulla.[/url]
Mi ha calcolato il valore della funzione in $x=2$, facendo la semplificazione che ho fatto io.
Quindi è definita!
Ho bisogno di qualcosa di forte per dimostrare/smentire ciò, perché non sono convinto più di nulla.[/url]
"Ale152":
Ma quindi $f(x)=x/x$ non è definita in $0$?
ESATTAMENTE. $f(x)=x/x$ e' definita per $x\ne0$ e $f(x)=1$ se $x\ne 0$. Naturalmente tale funzione ammette un'estensione continua anche in zero,
PONENDO $f(0)=1$.
E cioè quello che stavo dicendo io! Grazie VG!
"ViciousGoblin":
[quote="Ale152"]Ma quindi $f(x)=x/x$ non è definita in $0$?
ESATTAMENTE. $f(x)=x/x$ e' definita per $x\ne0$ e $f(x)=1$ se $x\ne 0$.
Naturalmente tale funzione ammette un'estensione continua anche in zero, PONENDO $f(0)=1$ [$=lim_(x\to 0) f(x)$, N.d.Gugo82].[/quote]
Per la serie I limiti sono stati inventati per questo...
"Ale152":
http://tinyurl.com/qdbsbb
Mi ha calcolato il valore della funzione in $x=2$, facendo la semplificazione che ho fatto io.
Quindi è definita!
Onestamente il fatto che $2/2$ faccia uno non mi sembra tanto sorpendente.
-Piu' complicato convincermi che $0/0=1$ (impegnandoti a mantenere questo valore in TUTTE le situazioni possibili in cui incontrerai l'espressione $0/0$ )
L'idea e' proprio questa - una volta che si definisce una regola bisogna mantenerla SEMPRE (in matematica
)
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