Continuità in R^2, metodi alternativi

[Mino_01]

Buona sera
considerate il problema.
Negli gli spazi euclidei $ R^2,R $, la funzione $ root(3)(x*y) $.
Dimostrare che è infinitesima in $ (0,0) $ .

Ho sviluppato 2 metodi di risoluzione e mi chiedevo se esistessero
metodi alternativi ...

Ringrazio tutti i partecipanti.

Metodo 1
posto $ g(x,y)=x $ , $ h(x,y)=y $, dato che:
$g(x,y)$ ,$h(x,y)$, $ root(3)t $ sono continue in $(0,0)$;
prodotto e composizione di finzioni continue è continua:
si ha l' asserto.

Metodo 2
data la successione in $ R^2 $ $(an,bn)$ essa tende a $(0,0)$ se e solo se sono infinitesime le successioni $an$, $bn$.
Per la continuità della estrazione di radice cubica e per il fatto che $an*bn$ e infinitesima si ha l' asserto.

[Rigel1]

Puoi certamente ragionare per continuità (metodi 1 e 2).
Se vuoi invece usare direttamente la definizione di continuità, puoi tenere conto del fatto che
\[
|xy| \leq \frac{x^2+y^2}{2}
\]
da cui
\[
\left|\sqrt[3]{xy}\right| \leq \sqrt[3]{\frac{x^2+y^2}{2}}.
\]
Di conseguenza, fissato \(\epsilon>0\), nella definizione di continuità ti basterà prendere \(\delta = \sqrt{2\epsilon^2}\).

Il metodo 3 non l'ho capito: a cosa ti serve dimostrare che \(\left|\sqrt[3]{xy}\right|\leq 1\)?

[Mino_01]

Grazie per la risposta..
La tua soluzione è certamente valida...

ho commesso un errore nella dimostrazione del terzo caso e per tanto
e del tutto errato il ragionamento ...

provvedo a eliminarlo per non confondere gli altri visitatori.
Ancora 1000 grazie