Continuità in R2
Non riesco a dimostrare che questa funzione non è continua in (0,0)
$f(x,y):= (x^3y^3)/(x^3+y^3)$ se x diverso da -y
$0$ se $(x,y)=(0,0)$
non trovo lo giusta restrizione per far vedere che il limite nn è zero. Ho provato anche per serie
con $(1/n,-1/n-1/n^2)$ niente. Vi chiedo una dritta, magari qualcuno si è già imbattuto in un limite del genere.
poi questo
$f(x,y)=(x^3y)/(x^4+y^2)$ se (x,y) diverso da (0,0)
0 se (x,y)=(0,0)
questa funziuone è continua ma non riesco a maggiorare la funzione. Anche le coordinate polari non mi sono state da aiuto e per la maggiorazione non riesco a trovare quella giusta
grazie
$f(x,y):= (x^3y^3)/(x^3+y^3)$ se x diverso da -y
$0$ se $(x,y)=(0,0)$
non trovo lo giusta restrizione per far vedere che il limite nn è zero. Ho provato anche per serie
con $(1/n,-1/n-1/n^2)$ niente. Vi chiedo una dritta, magari qualcuno si è già imbattuto in un limite del genere.
poi questo
$f(x,y)=(x^3y)/(x^4+y^2)$ se (x,y) diverso da (0,0)
0 se (x,y)=(0,0)
questa funziuone è continua ma non riesco a maggiorare la funzione. Anche le coordinate polari non mi sono state da aiuto e per la maggiorazione non riesco a trovare quella giusta
grazie
Risposte
per il primo esercizio dovrebbe andare $(x_n,y_n)=(1/n+e^(-n),-1/n)$
la numeratore avresti un termine dominante $1/n^6$ sotto invece i termini $1/n^3$ e $-1/n^3$ si elidono e avresti $3/n^2*e^(-n)+3/n*e^(-2n)+e^(-3n)$ quindi il termine dominante sarebbe $e^(-n)/n^2$ in definitiva il limite sarebbe $e^n/n^4$ che chiaramente diverge. l'idea che avevi avuto di aggiungere un termine che va a zero più velocemente era buona il termine però non andava a zero abbastanza velocemente
il secondo per ora non so dirti e controlla i conti vista l'ora potrei aver toppato alla grande
la numeratore avresti un termine dominante $1/n^6$ sotto invece i termini $1/n^3$ e $-1/n^3$ si elidono e avresti $3/n^2*e^(-n)+3/n*e^(-2n)+e^(-3n)$ quindi il termine dominante sarebbe $e^(-n)/n^2$ in definitiva il limite sarebbe $e^n/n^4$ che chiaramente diverge. l'idea che avevi avuto di aggiungere un termine che va a zero più velocemente era buona il termine però non andava a zero abbastanza velocemente
il secondo per ora non so dirti e controlla i conti vista l'ora potrei aver toppato alla grande
$lim_((x;y)->(0;0))(x^3y)/(x^2+y^4)$
Restrizione alla curva y=0: $lim_(x->0)f|_(y=0)=lim_(x->0)0=0$ se il lim esiste vale 0.
$|(x^3y)/(x^2+y^4)|<=|(x^3y)/(x^2)|=|xy|$ e si ha che $lim_((x;y)->(0;0))|xy|=0$ pertanto il lim vale 0, per il teorema del confronte
Restrizione alla curva y=0: $lim_(x->0)f|_(y=0)=lim_(x->0)0=0$ se il lim esiste vale 0.
$|(x^3y)/(x^2+y^4)|<=|(x^3y)/(x^2)|=|xy|$ e si ha che $lim_((x;y)->(0;0))|xy|=0$ pertanto il lim vale 0, per il teorema del confronte
Credo che tu abbia ricopiato male il testo dell'esercizio.
Io ho provato a risolverlo con la disuguaglianza di Young:
$xy<=1/px^p+1/qy^q$ $forall p>1 q>1$ t.c. $1/p+1/q=1$ e $forall x>=0 y>=0$
notando che:
$|(x^3y)/(x^4+y^2)|<=|(1/px^(3p)+1/qy^q)/(x^4+y^2)|<=1/p|x^(3p)/(x^4+y^2)|+1/q|y^q/(x^4+y^2)|<=1/p|x^(3p)/(x^4)|+1/q|y^q/(y^2)|=1/p|x^(3p-4)|+1/q|y^(q-2)|$
e questa disuguaglianza vale $forall p>1 q>1$ t.c. $1/p+1/q=1$
dunque in particolare per $p=3/2$ e $q=3$ di modo che $3p-4>0$ e $q-2>0$ affinché:
$|(x^3y)/(x^4+y^2)|<=2/3|x^(1/2)|+1/3|y|$$->0$ per $(x,y)->(0,0)$
Io ho provato a risolverlo con la disuguaglianza di Young:
$xy<=1/px^p+1/qy^q$ $forall p>1 q>1$ t.c. $1/p+1/q=1$ e $forall x>=0 y>=0$
notando che:
$|(x^3y)/(x^4+y^2)|<=|(1/px^(3p)+1/qy^q)/(x^4+y^2)|<=1/p|x^(3p)/(x^4+y^2)|+1/q|y^q/(x^4+y^2)|<=1/p|x^(3p)/(x^4)|+1/q|y^q/(y^2)|=1/p|x^(3p-4)|+1/q|y^(q-2)|$
e questa disuguaglianza vale $forall p>1 q>1$ t.c. $1/p+1/q=1$
dunque in particolare per $p=3/2$ e $q=3$ di modo che $3p-4>0$ e $q-2>0$ affinché:
$|(x^3y)/(x^4+y^2)|<=2/3|x^(1/2)|+1/3|y|$$->0$ per $(x,y)->(0,0)$
Credo che nelle condizioni di young ti sia scappato un p>q che non credo sia giusto. Se mi confermi che p non deve essere necessariamente maggiore a q mi torna sia il tuo risultato che il teorema di young.
comunque grazie per la soluzione che è originale
comunque grazie per la soluzione che è originale
una cosa utile sull'esistenza del $lim_((x,y)->(0,0))(x^ay^b)/(x^c+y^d)
abbiamo che
$0<=|(x^ay^b)/(x^c+y^d)|<=|((x^c)^(a/c)(y^d)^(b/d))/(x^c+y^d)|<=|((|x^c|+|y^d|)^(a/c)(|y^d|+|x^c|)^(b/d))/(x^c+y^d)|=|(|x^c|+|y^d|)|^(a/c+b/d-1)
quindi l'ultimo termine tende a zero se l'esponente è maggiore di zero, per $(x,y)->(0,0)$
quindi abbiamo il seguente risultato: se $a/c+b/d-1>0$ allora il limite esiste e vale zero.
questa osservazione potrebbe esserti utile per questi esercizi
ciao
abbiamo che
$0<=|(x^ay^b)/(x^c+y^d)|<=|((x^c)^(a/c)(y^d)^(b/d))/(x^c+y^d)|<=|((|x^c|+|y^d|)^(a/c)(|y^d|+|x^c|)^(b/d))/(x^c+y^d)|=|(|x^c|+|y^d|)|^(a/c+b/d-1)
quindi l'ultimo termine tende a zero se l'esponente è maggiore di zero, per $(x,y)->(0,0)$
quindi abbiamo il seguente risultato: se $a/c+b/d-1>0$ allora il limite esiste e vale zero.
questa osservazione potrebbe esserti utile per questi esercizi
ciao
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