Continuità in $R^2$

[marco.ve1]

Ciao, potreste aiutarmi?
Per quali $a \gt 0$ la funzione $f(x,y) = \frac{x^2|y|^a}{x^4+y^2}$ può essere prolungata con continuità in $0_2$?
Per $a \le 1$ è falso, infatti si ha $f(t,t^2) = \frac{t^(2+2a)}{2t^4} \to +\infty$ se $0 \ lt a \lt 1$ e $f(t,t^2) \to 1/2$ se $a=1$.

Più in generale, si ha $|f(x,y)| = |f(rcost, rsint)| = r^a \frac{(cost)^2 |sint|^a}{r^2(cost)^4 + (sint)^2}$, ora $0 \le (cost)^2 |sint|^a \le 1$, mentre $g(r,t) = r^2(cost)^4 + (sint)^2$ è continua in $]0, +\infty[ \times [0,2\pi]$ e se si fissa $r>0$ si vede che ha anche minimo $m(r) \ gt 0$. Quindi $|f(x,y)| \le r^a/{m(r)}$, però non so che farmene perché vorrei poter confrontare $r^a$ e $m(r)$.

[Ernesto011]

E se invece studi questa funzione $1/(r^2cos^4x+sin^2x)=1/((r^2t^2+(1-t))$ al variare di $t$ in $[0,1]$? Non so se si riesce a calcolare il min esplicitamente, ma credo di si.

Forse però la tua stima precedente è troppo "alla buona", non so se riesci a concludere tutta la casistica in questo modo.

[marco.ve1]

La funzione che dici te ha massimo $1/r^2$ per $r$ piccolo e quindi $f(x,y) \le r^(a-2)$, ovvero $f \to 0$ se $a>2$.
Rimane da studiare $1 \lt a \le 2$.

Grazie per l'aiuto