Continuità in $R^2$
$f(x,y)= x (|y|-x^2)/(e^y-1)$ se $|y|>=x^2$ e $ x!=0$
0 se $(x,y)!=(0,0)$
$e^(| y |/|x|^a) log(1+||y|-x^2|)$se $|y|
in quali punti devo studiare la continuità?
0 se $(x,y)!=(0,0)$
$e^(| y |/|x|^a) log(1+||y|-x^2|)$se $|y|
in quali punti devo studiare la continuità?
Risposte
l'unico punto in cui studio la continuità è l'origine?
forse la funzione è questa
\begin{align*}
f(x,y)=\begin{cases} \frac{x (|y|-x^2)}{e^y-1}, & \mbox{se }|y|\ge x^2\quad\mbox{e}\quad y\ne0 \\ 0, & \mbox{se }(x,y)\ne(0,0) \\
e^{\frac{|y|}{|x|^{a}}}\ln\left(1+\left||y|-x^2\right|\right),& \mbox{se }|y|\le x^2\quad\mbox{e}\quad x\ne0
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
f(x,y)=\begin{cases} \frac{x (|y|-x^2)}{e^y-1}, & \mbox{se }|y|\ge x^2\quad\mbox{e}\quad y\ne0 \\ 0, & \mbox{se }(x,y)\ne(0,0) \\
e^{\frac{|y|}{|x|^{a}}}\ln\left(1+\left||y|-x^2\right|\right),& \mbox{se }|y|\le x^2\quad\mbox{e}\quad x\ne0
\end{cases}
\end{align*}
sì, scusa ma c'era un errore di stampa
si calcola i limiti delle varie zone quando $(x,y)\to(0,0)$
conviene usare le coordinate polari?
$lim_(r->0^+) (r^2costheta(|sintheta|r(costheta)^2))/(e^(rsintheta)-1)$=$lim_(r->0^+) r(costheta) sgn(sintheta)=0$
$lim_(r->0^+) (r^2costheta(|sintheta|r(costheta)^2))/(e^(rsintheta)-1)$=$lim_(r->0^+) r(costheta) sgn(sintheta)=0$
è giusto?
Mmm. Che casino! Ma qual e' la funzione giusta? Quella scritta da Noisemaker mi sembra non abbia senso -la funzione sarebbe nulla per tutti i punti del piano. Sia \(f\) la seguente funzione:
\begin{align*}
f(x,y)=\begin{cases} x\frac{|y|-x^2}{e^y-1} & |y|\ge x^2, y\ne0 \\ 0 & (x,y) = (0,0) \\
e^{|y|/|x|^{a}}\log\left(1+\left||y|-x^2\right|\right) & |y| < x^2,x\ne0
\end{cases}
\end{align*}
I veri problemi stanno nell'origine (andrebbe verificato anche il raccordo fra zona dentro e fuori le panze delle parabole -ma ti accorgi subito che per i punti della sutura \((x,x^2)\) la funzione e' nulla senza dubbi).
Quindi: \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} x\frac{|y|-x^2}{e^y-1} \overset{?}{=} 0\] Anche io passerei in polari, ma credo tu abbia sbagliato a leggere il testo della funzione. Se il polo e' l'origine hai: \begin{align*} \frac{\rho\cos\theta (\rho|\sin\theta| - \rho^2 {\cos\theta}^2)}{\exp(\rho\sin\theta) -1} \\ \\ \frac{\rho^2 \cos\theta (|\sin\theta| - \rho {\cos\theta}^2)}{\rho\sin\theta} \\ \\ \le sgn(\sin\theta) \cdot \rho \cos\theta \le \epsilon \end{align*}
Per mostrare quali siano i valori di \(a\) per cui \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} e^{|y|/|x|^{a}}\log\left(1+\left||y|-x^2\right|\right) = 0\] - e quindi chiudere l'esercizio, non saprei come procedere al momento.
\begin{align*}
f(x,y)=\begin{cases} x\frac{|y|-x^2}{e^y-1} & |y|\ge x^2, y\ne0 \\ 0 & (x,y) = (0,0) \\
e^{|y|/|x|^{a}}\log\left(1+\left||y|-x^2\right|\right) & |y| < x^2,x\ne0
\end{cases}
\end{align*}
I veri problemi stanno nell'origine (andrebbe verificato anche il raccordo fra zona dentro e fuori le panze delle parabole -ma ti accorgi subito che per i punti della sutura \((x,x^2)\) la funzione e' nulla senza dubbi).
Quindi: \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} x\frac{|y|-x^2}{e^y-1} \overset{?}{=} 0\] Anche io passerei in polari, ma credo tu abbia sbagliato a leggere il testo della funzione. Se il polo e' l'origine hai: \begin{align*} \frac{\rho\cos\theta (\rho|\sin\theta| - \rho^2 {\cos\theta}^2)}{\exp(\rho\sin\theta) -1} \\ \\ \frac{\rho^2 \cos\theta (|\sin\theta| - \rho {\cos\theta}^2)}{\rho\sin\theta} \\ \\ \le sgn(\sin\theta) \cdot \rho \cos\theta \le \epsilon \end{align*}
Per mostrare quali siano i valori di \(a\) per cui \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} e^{|y|/|x|^{a}}\log\left(1+\left||y|-x^2\right|\right) = 0\] - e quindi chiudere l'esercizio, non saprei come procedere al momento.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo