Continuità in due variabili, uniformemente rispetto alla terza
Sia $f:[0,1] \times RR^n \times A \rightarrow RR^n$, $(t,x,u) \mapsto f(t,x,u)$ una funzione continua ($A$ è uno spazio topologico).
Cosa significa supporre che "$f$ sia continua rispetto a $(t,x)$, uniformemente rispetto a $u$"?
Cosa significa supporre che "$f$ sia continua rispetto a $(t,x)$, uniformemente rispetto a $u$"?
Risposte
Ciao thedarkhero,
Non significa semplicemente che il famoso $\delta $ che compare nella definizione $||u - w|| < \delta $ ($\AA u, w \in D = [0. 1] \times \RR^n \times A $) dipende solo da $ \epsilon $ e non da $u$, cioè è $\delta(\epsilon) $ e non $\delta(u, \epsilon) $?
Non significa semplicemente che il famoso $\delta $ che compare nella definizione $||u - w|| < \delta $ ($\AA u, w \in D = [0. 1] \times \RR^n \times A $) dipende solo da $ \epsilon $ e non da $u$, cioè è $\delta(\epsilon) $ e non $\delta(u, \epsilon) $?
Vediamo se ho capito:
Per ogni $\bart \in [0,1]$, per ogni $\barx \in RR^n$, per ogni $u \in A$ e per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ ($\delta$ indipendente da $\bart$, $\barx$ e $u$) tale che se $||(t,x,u)-(\bart, \barx, u)||<\delta$ allora $||f(t,x,u)-f(\bart,\barx,u)||<\epsilon$.
Se ho capito bene, allora cosa aggiunge questo alla semplice continuità di $f$?
Inoltre, che senso ha parlare di $||(t,x,u)-(\bart, \barx, u)||$ se $A$ è semplicemente uno spazio topologico?
Per ogni $\bart \in [0,1]$, per ogni $\barx \in RR^n$, per ogni $u \in A$ e per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ ($\delta$ indipendente da $\bart$, $\barx$ e $u$) tale che se $||(t,x,u)-(\bart, \barx, u)||<\delta$ allora $||f(t,x,u)-f(\bart,\barx,u)||<\epsilon$.
Se ho capito bene, allora cosa aggiunge questo alla semplice continuità di $f$?
Inoltre, che senso ha parlare di $||(t,x,u)-(\bart, \barx, u)||$ se $A$ è semplicemente uno spazio topologico?
"thedarkhero":
Per ogni $\bart \in [0,1]$, per ogni $\barx \in RR^n$, per ogni $u \in A$ e per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ ($\delta$ indipendente da $\bart$, $\barx$ e $u$) tale che se $||(t,x,u)-(\bart, \barx, u)||<\delta$ allora $||f(t,x,u)-f(\bart,\barx,u)||<\epsilon$.
Non è così, l'uniformità in $u$ significa che il $\delta$ della definizione di continuità può dipendere da $\epsilon$, da $t$ e da $x$ ma non da $u$. Ossia, dato un $\epsilon>0$, dato un $t \in [0,1]$ e dato un $x \in \mathbb{R}^n$, trovi un $\delta=\delta(\epsilon,t,x)>0$ per cui vale l'implicazione della continuità e la scelta di questo $\delta$ deve andare bene per ogni $u \in A$. Quindi, dal punto di vista logico, $u$ va quantificato dopo $\delta$ mentre $\epsilon$, $t$ e $x$ vanno quantificati prima di $\delta$. Questo dovrebbe spiegare cosa cambia rispetto alla semplice continuità di $f$.
Per la domanda sulla topologia, ti consiglio di aspettare pareri più esperti del mio; a intuito, ti direi che hai degli intorni dati dalla topologia su $A$ e hai degli intorni dati dalla metrica su $[0,1]\times\mathbb{R}^n$ e quindi puoi riformulare tutto in termini di intorni su $[0,1]\times\mathbb{R}^n \times A$ tramite una topologia prodotto, ma non fidarti per niente di questa mia interpretazione.
Giusto, mi ero confuso io, grazie mille ad entrambi!!
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