Continuità in due variabili
Come faccio a mostrare che questa funzione non è continua nei punti $y_0 =-x_0 \ne 0$ ?
\(\displaystyle f(x,y)=
\begin{cases}
(y-x) \sin \bigl( \frac{1}{x^2 -y^2} \bigr) & (x,y)\neq(0,0) \\
0 & (x,y)=(0,0)
\end{cases} \)
\(\displaystyle f(x,y)=
\begin{cases}
(y-x) \sin \bigl( \frac{1}{x^2 -y^2} \bigr) & (x,y)\neq(0,0) \\
0 & (x,y)=(0,0)
\end{cases} \)
Risposte
direi che lungo la bisettrice di II e IV quadrante la funzione perde di significato perchè si annulla il denominatore dell'argomento del seno
Ma allore perchè non anche nel I e III quadrante?
si anche la bisettrice di I e III quadrante ma tu hai chiesto
"Berker":
Come faccio a mostrare che questa funzione non è continua nei punti $y_0 =-x_0 \ne 0$ ?
Nel pdf delle soluzioni sul sito del mio prof viene detto che la funzione è continua in tutto $\mathbb{R}^2$ tranne che nei punti nella forma $y_0=-x_0 \ne 0$. Perchè è vero ciò?
(Ora la domanda è più chiara)
(Ora la domanda è più chiara)
non sapreisecondo me il denominatore si annulla anche quando $y=x$
Ma se \(y=x\) c'è il numeratore che si annulla. E quindi, anche se a rigore la funzione non è definita, è prolungabile per continuità. Questo chiaramente va dimostrato calcolando il limite.
ma nell'orioginale c'è scritto che la funzione vale 0 nell'origine (solo nell'origine)
non avrebbe dovuto scrivere che vale 0 lungo la bisettrice di primo e terzo quadrante?
$f(x,y)=0 if y=x$
non avrebbe dovuto scrivere che vale 0 lungo la bisettrice di primo e terzo quadrante?
$f(x,y)=0 if y=x$
Non \(0\) ma \(1\), perché
\[
\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}=1.\]
\[
\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}=1.\]
scusa dissonance
non capisco, c'è qualcosa che non mi torna...
proviamo a sostituire una coppia di valori che si avvicinano abbastanza alla retta $y=x$
scegliamo $y=1$ e $x=1,01$ e proviamo a fare i conti con la funzione data
$f(x;y)=(y-x)sen(1/(x^2-y^2))$
$f(1,01;1)=(1-1,01)sen(1/(1,0201-1))=-0,01*sen(1/(0,0201))=-0,01*sen(10000/201)=-0,01*sen(49,75)=-0,01*(-0,49)=0,0049$
non capisco, c'è qualcosa che non mi torna...
proviamo a sostituire una coppia di valori che si avvicinano abbastanza alla retta $y=x$
scegliamo $y=1$ e $x=1,01$ e proviamo a fare i conti con la funzione data
$f(x;y)=(y-x)sen(1/(x^2-y^2))$
$f(1,01;1)=(1-1,01)sen(1/(1,0201-1))=-0,01*sen(1/(0,0201))=-0,01*sen(10000/201)=-0,01*sen(49,75)=-0,01*(-0,49)=0,0049$
E tu hai perfettamente ragione perché il mio intervento precedente è in realtà una fesseria. Avevi ragione tu, andrebbe scritto che la funzione vale \(0\) sulla retta \(x=y\), il professore se ne sarà dimenticato. Mi piace questo fatto che fai degli esperimenti numerici per vedere cosa succede.
---
Un suggerimento formale. Per studiare la funzione
\[
f(x, y)=(y-x)\sin\frac{1}{(x-y)(x+y)}, \]
conviene introdurre le variabili
\[
u=x-y,\quad v=x+y, \]
in modo da ricondursi a studiare
\[
g(u, v)=-u \sin \frac{1}{uv}.\]
Per esempio per vedere cosa succede su \(x=y\), che corrisponde a \(u=0\), bisogna studiare il limite
\[
\lim_{u\to 0} -u\sin\frac{1}{uv}, \]
che è uguale a \(0\).
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Un suggerimento formale. Per studiare la funzione
\[
f(x, y)=(y-x)\sin\frac{1}{(x-y)(x+y)}, \]
conviene introdurre le variabili
\[
u=x-y,\quad v=x+y, \]
in modo da ricondursi a studiare
\[
g(u, v)=-u \sin \frac{1}{uv}.\]
Per esempio per vedere cosa succede su \(x=y\), che corrisponde a \(u=0\), bisogna studiare il limite
\[
\lim_{u\to 0} -u\sin\frac{1}{uv}, \]
che è uguale a \(0\).
"dissonance":
Mi piace questo fatto che fai degli esperimenti numerici per vedere cosa succede.
veramente ho seguito un tuo consiglio
shut up and calculate
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