Continuità in analisi e in topologia
Salve a tutti! Sto studiando Topologia e poichè è una materia abbastanza astratta ho qualche difficoltà con le dimostrazioni. Inanzitutto richiamo il concetto di punto di aderenza in topologia:
Sia \(\displaystyle A\subseteqq\mathbb{R}^n, \underline x\in\mathbb{R}^n \) è aderente ad \(\displaystyle A \) se
\(\displaystyle \forall\varepsilon>0 \exists \underline y\in A: d(\underline x, \underline y)<\varepsilon \)
Diamo ora la definizione di funzione continua in topologia
Dati \(\displaystyle X,Y\subset\mathbb{R}^n \), una funzione \(\displaystyle F:X\rightarrow Y \) è continua in \(\displaystyle X \) se \(\displaystyle \forall A\subset X, \forall x\in X, x \) aderente ad \(\displaystyle A \) si ha \(\displaystyle F(x) \) aderente a \(\displaystyle F(A)\)
Mentre, la definizione di continuità in analisi è la seguente:
Diremo che \(\displaystyle F:X\rightarrow Y \), \(\displaystyle X,Y\subset\mathbb{R} \) è continua in \(\displaystyle x_0\in X \) se
\(\displaystyle \forall\varepsilon>0, \exists\delta>0:|x-x_0|<\delta \Rightarrow |F(x)-F(x_0)|<\varepsilon \)
Tenendo conto di queste definizioni, devo provare che quando \(\displaystyle X,Y\subset\mathbb{R} \) i concetti di continuità in topologia e in analisi rispettivamente sono equivalenti. In particolare devo provare che se \(\displaystyle F \) è continua in analisi allora lo è pure in topologia. Io ho ragionato così:
considerato \(\displaystyle A\subset X \) e preso un generico \(\displaystyle x \) aderente ad \(\displaystyle A \), devo provare che \(\displaystyle F(x) \) è aderente a \(\displaystyle F(A) \). Dal fatto che \(\displaystyle x \) aderente ad \(\displaystyle A \) segue che
\(\displaystyle \forall\varepsilon>0 \exists y\in A: |x-y|<\varepsilon \).
Ma per ipotesi la \(\displaystyle F \) è continua in analisi, dunque, scengliendo \(\displaystyle \delta=\varepsilon \) ottengo che \(\displaystyle |F(x)-F(y)|<\varepsilon \), ovvero che \(\displaystyle F(x) \) è aderente a \(\displaystyle F(A) \).
Ho ragionato bene?
Sia \(\displaystyle A\subseteqq\mathbb{R}^n, \underline x\in\mathbb{R}^n \) è aderente ad \(\displaystyle A \) se
\(\displaystyle \forall\varepsilon>0 \exists \underline y\in A: d(\underline x, \underline y)<\varepsilon \)
Diamo ora la definizione di funzione continua in topologia
Dati \(\displaystyle X,Y\subset\mathbb{R}^n \), una funzione \(\displaystyle F:X\rightarrow Y \) è continua in \(\displaystyle X \) se \(\displaystyle \forall A\subset X, \forall x\in X, x \) aderente ad \(\displaystyle A \) si ha \(\displaystyle F(x) \) aderente a \(\displaystyle F(A)\)
Mentre, la definizione di continuità in analisi è la seguente:
Diremo che \(\displaystyle F:X\rightarrow Y \), \(\displaystyle X,Y\subset\mathbb{R} \) è continua in \(\displaystyle x_0\in X \) se
\(\displaystyle \forall\varepsilon>0, \exists\delta>0:|x-x_0|<\delta \Rightarrow |F(x)-F(x_0)|<\varepsilon \)
Tenendo conto di queste definizioni, devo provare che quando \(\displaystyle X,Y\subset\mathbb{R} \) i concetti di continuità in topologia e in analisi rispettivamente sono equivalenti. In particolare devo provare che se \(\displaystyle F \) è continua in analisi allora lo è pure in topologia. Io ho ragionato così:
considerato \(\displaystyle A\subset X \) e preso un generico \(\displaystyle x \) aderente ad \(\displaystyle A \), devo provare che \(\displaystyle F(x) \) è aderente a \(\displaystyle F(A) \). Dal fatto che \(\displaystyle x \) aderente ad \(\displaystyle A \) segue che
\(\displaystyle \forall\varepsilon>0 \exists y\in A: |x-y|<\varepsilon \).
Ma per ipotesi la \(\displaystyle F \) è continua in analisi, dunque, scengliendo \(\displaystyle \delta=\varepsilon \) ottengo che \(\displaystyle |F(x)-F(y)|<\varepsilon \), ovvero che \(\displaystyle F(x) \) è aderente a \(\displaystyle F(A) \).
Ho ragionato bene?
Risposte
Mmm.. secondo me c'e' un po' di confusione e ti converrebbe chiamare direttamente $\delta$ il primo $\epsilon$. Cioe', parti dicendo che per ogni $\delta$ esiste $y\in A$ tale che $|x-y|<\delta$. (chiamiamo questo "step 1").
Ora fissa $\epsilon$, siccome la funzione e' continua in analisi (mai sentita questa buffa terminologia), allora esiste $\delta$ tale che se $|x-y|<\delta$, allora $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. Ma ora, dallo step 1 sai che fra i vari $y$ tali che $|x-y|<\delta$ ne puoi sempre prendere uno che sta in $A$ e a questo punto bla bla bla
P.s. questa NON e' topologia!
Ora fissa $\epsilon$, siccome la funzione e' continua in analisi (mai sentita questa buffa terminologia), allora esiste $\delta$ tale che se $|x-y|<\delta$, allora $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. Ma ora, dallo step 1 sai che fra i vari $y$ tali che $|x-y|<\delta$ ne puoi sempre prendere uno che sta in $A$ e a questo punto bla bla bla
P.s. questa NON e' topologia!
"Valerio Capraro":
P.s. questa NON e' topologia!
Infatti. Al massimo è la traslazione del concetto familiare di continuità a funzioni tra spazi metrici.
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