Continuità funzioni elementari

[crowler-votailprof]

sò che è una cosa banale ma non sto riuscendo a dimostrare che le funzioni potenza e trigonometriche , sono funzioni continue.
Per le funzioni esponenziali e logaritmiche non ho avuto problemi.
potreste aiutarmi?
le dimostrazioni fin ora le ho fatte usando la definizione di funzione continua
-ε

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Risposte

Luca.Lussardi

1 mar 2010, 12:38

1) Sistema l'italiano prima di tutto.

2) La definizione che dai di funzione continua è tutto tranne che una definizione... cosa vuol dire $-\epsilon

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crowler-votailprof

1 mar 2010, 12:41

si scusa
volevo dire:
Per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |x-c|<δ implica |f(x)-f(c)|<ε
da qua svolgendo il valore assoluto
-ε

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gugo82

1 mar 2010, 16:44

Di solito per stabilire la continuità delle funzioni elementari torna comodo usare l'inverso del teorema di Bolzano per le funzioni monotone ed il lemma d'incollamento.

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Seneca1

1 mar 2010, 17:56

@Gugo: Io l'ho sempre dimostrata applicando la definizione di continuità, quella che probabilmente intendeva l'autore del topic. Quali sono i teoremi che tu citi?

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gugo82

2 mar 2010, 00:53

"Seneca":@Gugo: Io l'ho sempre dimostrata applicando la definizione di continuità, quella che probabilmente intendeva l'autore del topic. Quali sono i teoremi che tu citi?

L'inverso del teorema di Bolzano per funzioni monotone lo conosciamo tutti (e chi non lo ricorda lo trova citato qui).

Con lemma di incollamento intendevo una delle seguenti proposizioni, che esprimono condizioni sufficienti a garantire la continuità di una funzione definita per casi:

Lemma d'incollamento per sottoinsiemi chiusi

Siano [tex]$X_1,\ X_2 \subseteq \mathbb{R}$[/tex] chiusi tali che [tex]$X_1\cap X_2 \neq \emptyset$[/tex] ed [tex]$f_i:X_i\to \mathbb{R}$[/tex] per [tex]$i=1,2$[/tex] funzioni continue.

Se risulta [tex]$f_1=f_2$[/tex] in [tex]$X_1\cap X_2$[/tex], allora la funzione [tex]$f:X_1\cup X_2 \to \mathbb{R}$[/tex] definita ponendo:

[tex]$f(x):=\begin{cases} f_1(x) &\text{, se $x\in X_1$} \\ f_2(x) &\text{, se $x\in X_2$}\end{cases}$[/tex]

(tale [tex]$f$[/tex] è detta incollamento di [tex]$f_1$[/tex] ed [tex]$f_2$[/tex]) è continua.

Lemma d'incollamento per sottoinsiemi aperti

Siano [tex]$\{ X_i\}_{i\in \mathfrak{I}}$[/tex] una famiglia di aperti di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$\{ f_i\}_{i\in \mathfrak{I}}$[/tex] una famiglia di funzioni con [tex]$f_i:X_i\to \mathbb{R}$[/tex] continua per ogni [tex]$i\in \mathfrak{I}$[/tex].

Se risulta [tex]$f_i=f_j$[/tex] per ogni coppia d'indici [tex]$i\neq j\in \mathfrak{I}$[/tex] tali che [tex]$X_i\cap X_j \neq \emptyset$[/tex], allora la funzione [tex]$f: \bigcup_{i\in \mathfrak{I}} X_i \to \mathbb{R}$[/tex] definita ponendo:

[tex]$f(x):=f_i(x) \text{, se $x\in X_i$ per qualche $i\in \mathfrak{I}$}$[/tex]

(detta incollamento della famiglia [tex]$\{ f_i\}_{i\in \mathfrak{I}}$[/tex]) è continua in [tex]$\bigcup_{i\in \mathfrak{I}} X_i$[/tex].

I due lemmi si possono adattare facilmente al caso in cui si scelgano come spazi di partenza ed arrivo due spazi topologigi generici [tex]$(X,\tau )$[/tex] ed [tex]$(Y,\tau^\prime )$[/tex]: insomma, non c'è nulla di legato ad i numeri reali qui, le due proposizioni funzionano sempre.
Inoltre, la prima proposizione si può ovviamente generalizzare ad un qualunque numero finito di chiusi (per induzione); però in generale non si può provare per famiglia non finite.*


Esempio 1: prendiamo l'applicazione [tex]$f: \mathbb{R} \ni x\mapsto x^4 \in \mathbb{R}$[/tex] e dimostriamo che è continua.
La [tex]$f$[/tex] è incollamento delle due applicazioni:

[tex]$f_1:]-\infty ,0]\ni x \mapsto x^4 \in \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$f_2:[0,+\infty [\ni x \mapsto x^4 \in \mathbb{R}$[/tex];

tali applicazioni sono continue: invero, per fatti elementari, esse sono monotone (l'una decrescente, l'altra crescente) ed hanno per immagine l'intervallo [tex]$[0,+\infty [$[/tex], quindi basta invocare l'inverso del teorema di Bolzano per le funzioni monotone.
D'altra parte è [tex]$]-\infty ,0]\cap [0,+\infty[ =\{ 0\}$[/tex] ed [tex]$f_1(0)=0=f_2(0)$[/tex], quindi per il lemma d'incollamento per chiusi la [tex]$f$[/tex] è continua in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].


Esempio 2: prendiamo la funzione [tex]$g:\mathbb{R} \ni x \mapsto \sin x \in \mathbb{R}$[/tex] e dimostriamo che essa è continua.
Notiamo che [tex]$g$[/tex] è incollamento della famiglia di funzioni:

[tex]$\phi_k: \left[ -\frac{\pi}{2} +k\pi ,\frac{\pi}{2} +k\pi \right] \ni x\mapsto \sin x\in \mathbb{R}$[/tex] per [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]

le quali sono continue per l'inverso del teorema di Bolzano per funzioni monotone; tuttavia, giacché il lemma d'incollamento per chiusi non vale per famiglie infinite, ciò non ci porta alla tesi.

Tentiamo allora di applicare il lemma d'incollamento per aperti. Notiamo che l'applicazione [tex]$g$[/tex] è incollamento della famiglia di funzioni:

[tex]$g_n:\left] n\frac{\pi}{2} ,n\frac{\pi}{2} +\pi\right[ \ni x\mapsto \sin x \in \mathbb{R}$[/tex] con [tex]$n\in \mathbb{Z}$[/tex].

Le funzioni [tex]$g_n$[/tex] che si ottengono per [tex]$n$[/tex] dispari ([tex]$n=2k+1$[/tex] per qualche [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]) sono monotone ed hanno per immagine l'intervallo [tex]$]-1,1[$[/tex] sicché sono continue per l'inverso del teorema di Bolzano.
Le funzioni [tex]$g_n$[/tex] che si ottengono per valori pari di [tex]$n$[/tex] (i.e. [tex]$n=2h$[/tex] per [tex]$h\in \mathbb{Z}$[/tex]) sono, invece, a loro volta incollamento delle funzioni continue [tex]$\phi_h\Big|_{]-\pi /2+h\pi ,\pi /2 +h\pi ]}$[/tex] e [tex]$\phi_{h+1}\Big|_{[\pi /2+h\pi , 3\pi /2 +h\pi [}$[/tex] tali che [tex]$\phi_h(\pi /2 +h\pi)=\phi_{h+1} (\pi /2 +h\pi )$[/tex] quindi sono continue per il lemma d'incollamento per chiusi.
Visto che le funzioni [tex]$g_n$[/tex] soddisfano al requisito [tex]$g_n=g_m$[/tex] per [tex]$n$[/tex] ed [tex]$m$[/tex] tali che [tex]$\left] n\frac{\pi}{2} ,n\frac{\pi}{2} +\pi\right[ \cap \Big] m\frac{\pi}{2} ,m\frac{\pi}{2} +\pi\Big[$[/tex], un'aplicazione diretta del lemma d'incollamento per aperti fornisce la continuità di [tex]$g$[/tex].



__________
* Non ricordo bene i dettagli, ma c'è sicuramente qualche controesempio.

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crowler-votailprof

2 mar 2010, 17:43

grazie della risposta, ma purtroppo il mio professore utilizza la definizione di funzione continua per dimostrare la continuità.
il teorema di incollamento neanche lo nomina.
sono riuscito a dimostrare la continuità per tutti i tipi di funzioni tranne che per seno e coseno.

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Paolo902

2 mar 2010, 18:01

Tu vuoi dimostrare che $f:RR to RR$ definita da $f(x)=sinx$ è continua su tutto $RR$: dico bene?

Allora, puoi fare così: prendi un $x_0 in RR$ e fissi un $epsilon$ a piacere. Allora, hai che $|x-x_0||sinx-sinx_0|
Quindi, prendendo $delta=epsilon$ la definizione di continuità in $x_0$ è soddisfatta. Dall'arbitrarietà di $x_0$ la tesi.

Un' osservazione "intelligente": nota che la funzione è lipschitziana, quindi è automaticamente continua.

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crowler-votailprof

2 mar 2010, 18:09

grazie sei un grande.
grazie mille a tutti, dubbio risolto

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Paolo902

2 mar 2010, 18:13

Figurati, per tutto questo!

Stai tranquillo, buono studio e se hai bisogno fai un fischio.

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Rigel1

2 mar 2010, 19:07

@gugo:
un controesempio per famiglie non finite di chiusi potrebbe essere questo.
Prendi $X_0 = RR \setminus (0,3)$, $X_i = [1/i, 3 - 1/i]$, $i\ge 1$, e definisci
$f_0 = 1$ su $X_0$, $f_i = 0$ su $X_i$, $i\ge 1$.
Vale chiaramente la proprietà $f_i = f_j$ su $X_i\cap X_j$, $i,j\ge 0$; d'altra parte l'incollamento non è una funzione continua.

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gugo82

2 mar 2010, 20:15

Esatto Rigel.

@ salvo 19881: Certo che il tuo prof. usa la definizione; è la strada più semplice. Tuttavia è sempre divertente cercare strade alternative.

@ Paolo90: c'è un'implicazione un po' fuori posto qui o sbaglio?
(Ad esempio, preso [tex]$\varepsilon = 1$[/tex] si ha [tex]$|\sin x -\sin (x+450\pi )| = 0<\varepsilon$[/tex] e però [tex]$|x-(x+450\pi )|=450\pi >\varepsilon$[/tex].)

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Paolo902

2 mar 2010, 20:27

"gugo82":
@ Paolo90: c'è un'implicazione un po' fuori posto qui o sbaglio?
(Ad esempio, preso [tex]$\varepsilon = 1$[/tex] si ha [tex]$|\sin x -\sin (x+450\pi )| = 0<\varepsilon$[/tex] e però [tex]$|x-(x+450\pi )|=450\pi >\varepsilon$[/tex].)

Verissimo, grazie per la segnalazione, mi era sfuggito. Ho corretto.
Grazie.

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[Luca.Lussardi]

1) Sistema l'italiano prima di tutto.

2) La definizione che dai di funzione continua è tutto tranne che una definizione... cosa vuol dire $-\epsilon

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[crowler-votailprof]

si scusa
volevo dire:
Per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |x-c|<δ implica |f(x)-f(c)|<ε
da qua svolgendo il valore assoluto
-ε

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[gugo82]

Di solito per stabilire la continuità delle funzioni elementari torna comodo usare l'inverso del teorema di Bolzano per le funzioni monotone ed il lemma d'incollamento.

[Seneca1]

@Gugo: Io l'ho sempre dimostrata applicando la definizione di continuità, quella che probabilmente intendeva l'autore del topic. Quali sono i teoremi che tu citi?

[gugo82]

"Seneca":@Gugo: Io l'ho sempre dimostrata applicando la definizione di continuità, quella che probabilmente intendeva l'autore del topic. Quali sono i teoremi che tu citi?

L'inverso del teorema di Bolzano per funzioni monotone lo conosciamo tutti (e chi non lo ricorda lo trova citato qui).

Con lemma di incollamento intendevo una delle seguenti proposizioni, che esprimono condizioni sufficienti a garantire la continuità di una funzione definita per casi:

Lemma d'incollamento per sottoinsiemi chiusi

Siano [tex]$X_1,\ X_2 \subseteq \mathbb{R}$[/tex] chiusi tali che [tex]$X_1\cap X_2 \neq \emptyset$[/tex] ed [tex]$f_i:X_i\to \mathbb{R}$[/tex] per [tex]$i=1,2$[/tex] funzioni continue.

Se risulta [tex]$f_1=f_2$[/tex] in [tex]$X_1\cap X_2$[/tex], allora la funzione [tex]$f:X_1\cup X_2 \to \mathbb{R}$[/tex] definita ponendo:

[tex]$f(x):=\begin{cases} f_1(x) &\text{, se $x\in X_1$} \\ f_2(x) &\text{, se $x\in X_2$}\end{cases}$[/tex]

(tale [tex]$f$[/tex] è detta incollamento di [tex]$f_1$[/tex] ed [tex]$f_2$[/tex]) è continua.

Lemma d'incollamento per sottoinsiemi aperti

Siano [tex]$\{ X_i\}_{i\in \mathfrak{I}}$[/tex] una famiglia di aperti di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$\{ f_i\}_{i\in \mathfrak{I}}$[/tex] una famiglia di funzioni con [tex]$f_i:X_i\to \mathbb{R}$[/tex] continua per ogni [tex]$i\in \mathfrak{I}$[/tex].

Se risulta [tex]$f_i=f_j$[/tex] per ogni coppia d'indici [tex]$i\neq j\in \mathfrak{I}$[/tex] tali che [tex]$X_i\cap X_j \neq \emptyset$[/tex], allora la funzione [tex]$f: \bigcup_{i\in \mathfrak{I}} X_i \to \mathbb{R}$[/tex] definita ponendo:

[tex]$f(x):=f_i(x) \text{, se $x\in X_i$ per qualche $i\in \mathfrak{I}$}$[/tex]

(detta incollamento della famiglia [tex]$\{ f_i\}_{i\in \mathfrak{I}}$[/tex]) è continua in [tex]$\bigcup_{i\in \mathfrak{I}} X_i$[/tex].

I due lemmi si possono adattare facilmente al caso in cui si scelgano come spazi di partenza ed arrivo due spazi topologigi generici [tex]$(X,\tau )$[/tex] ed [tex]$(Y,\tau^\prime )$[/tex]: insomma, non c'è nulla di legato ad i numeri reali qui, le due proposizioni funzionano sempre.
Inoltre, la prima proposizione si può ovviamente generalizzare ad un qualunque numero finito di chiusi (per induzione); però in generale non si può provare per famiglia non finite.*


Esempio 1: prendiamo l'applicazione [tex]$f: \mathbb{R} \ni x\mapsto x^4 \in \mathbb{R}$[/tex] e dimostriamo che è continua.
La [tex]$f$[/tex] è incollamento delle due applicazioni:

[tex]$f_1:]-\infty ,0]\ni x \mapsto x^4 \in \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$f_2:[0,+\infty [\ni x \mapsto x^4 \in \mathbb{R}$[/tex];

tali applicazioni sono continue: invero, per fatti elementari, esse sono monotone (l'una decrescente, l'altra crescente) ed hanno per immagine l'intervallo [tex]$[0,+\infty [$[/tex], quindi basta invocare l'inverso del teorema di Bolzano per le funzioni monotone.
D'altra parte è [tex]$]-\infty ,0]\cap [0,+\infty[ =\{ 0\}$[/tex] ed [tex]$f_1(0)=0=f_2(0)$[/tex], quindi per il lemma d'incollamento per chiusi la [tex]$f$[/tex] è continua in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].


Esempio 2: prendiamo la funzione [tex]$g:\mathbb{R} \ni x \mapsto \sin x \in \mathbb{R}$[/tex] e dimostriamo che essa è continua.
Notiamo che [tex]$g$[/tex] è incollamento della famiglia di funzioni:

[tex]$\phi_k: \left[ -\frac{\pi}{2} +k\pi ,\frac{\pi}{2} +k\pi \right] \ni x\mapsto \sin x\in \mathbb{R}$[/tex] per [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]

le quali sono continue per l'inverso del teorema di Bolzano per funzioni monotone; tuttavia, giacché il lemma d'incollamento per chiusi non vale per famiglie infinite, ciò non ci porta alla tesi.

Tentiamo allora di applicare il lemma d'incollamento per aperti. Notiamo che l'applicazione [tex]$g$[/tex] è incollamento della famiglia di funzioni:

[tex]$g_n:\left] n\frac{\pi}{2} ,n\frac{\pi}{2} +\pi\right[ \ni x\mapsto \sin x \in \mathbb{R}$[/tex] con [tex]$n\in \mathbb{Z}$[/tex].

Le funzioni [tex]$g_n$[/tex] che si ottengono per [tex]$n$[/tex] dispari ([tex]$n=2k+1$[/tex] per qualche [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]) sono monotone ed hanno per immagine l'intervallo [tex]$]-1,1[$[/tex] sicché sono continue per l'inverso del teorema di Bolzano.
Le funzioni [tex]$g_n$[/tex] che si ottengono per valori pari di [tex]$n$[/tex] (i.e. [tex]$n=2h$[/tex] per [tex]$h\in \mathbb{Z}$[/tex]) sono, invece, a loro volta incollamento delle funzioni continue [tex]$\phi_h\Big|_{]-\pi /2+h\pi ,\pi /2 +h\pi ]}$[/tex] e [tex]$\phi_{h+1}\Big|_{[\pi /2+h\pi , 3\pi /2 +h\pi [}$[/tex] tali che [tex]$\phi_h(\pi /2 +h\pi)=\phi_{h+1} (\pi /2 +h\pi )$[/tex] quindi sono continue per il lemma d'incollamento per chiusi.
Visto che le funzioni [tex]$g_n$[/tex] soddisfano al requisito [tex]$g_n=g_m$[/tex] per [tex]$n$[/tex] ed [tex]$m$[/tex] tali che [tex]$\left] n\frac{\pi}{2} ,n\frac{\pi}{2} +\pi\right[ \cap \Big] m\frac{\pi}{2} ,m\frac{\pi}{2} +\pi\Big[$[/tex], un'aplicazione diretta del lemma d'incollamento per aperti fornisce la continuità di [tex]$g$[/tex].



__________
* Non ricordo bene i dettagli, ma c'è sicuramente qualche controesempio.

[crowler-votailprof]

grazie della risposta, ma purtroppo il mio professore utilizza la definizione di funzione continua per dimostrare la continuità.
il teorema di incollamento neanche lo nomina.
sono riuscito a dimostrare la continuità per tutti i tipi di funzioni tranne che per seno e coseno.

[Paolo902]

Tu vuoi dimostrare che $f:RR to RR$ definita da $f(x)=sinx$ è continua su tutto $RR$: dico bene?

Allora, puoi fare così: prendi un $x_0 in RR$ e fissi un $epsilon$ a piacere. Allora, hai che $|x-x_0||sinx-sinx_0|
Quindi, prendendo $delta=epsilon$ la definizione di continuità in $x_0$ è soddisfatta. Dall'arbitrarietà di $x_0$ la tesi.

Un' osservazione "intelligente": nota che la funzione è lipschitziana, quindi è automaticamente continua.

[crowler-votailprof]

grazie sei un grande.
grazie mille a tutti, dubbio risolto

[Paolo902]

Figurati, per tutto questo!

Stai tranquillo, buono studio e se hai bisogno fai un fischio.

[Rigel1]

@gugo:
un controesempio per famiglie non finite di chiusi potrebbe essere questo.
Prendi $X_0 = RR \setminus (0,3)$, $X_i = [1/i, 3 - 1/i]$, $i\ge 1$, e definisci
$f_0 = 1$ su $X_0$, $f_i = 0$ su $X_i$, $i\ge 1$.
Vale chiaramente la proprietà $f_i = f_j$ su $X_i\cap X_j$, $i,j\ge 0$; d'altra parte l'incollamento non è una funzione continua.

[gugo82]

Esatto Rigel.

@ salvo 19881: Certo che il tuo prof. usa la definizione; è la strada più semplice. Tuttavia è sempre divertente cercare strade alternative.

@ Paolo90: c'è un'implicazione un po' fuori posto qui o sbaglio?
(Ad esempio, preso [tex]$\varepsilon = 1$[/tex] si ha [tex]$|\sin x -\sin (x+450\pi )| = 0<\varepsilon$[/tex] e però [tex]$|x-(x+450\pi )|=450\pi >\varepsilon$[/tex].)

[Paolo902]

"gugo82":
@ Paolo90: c'è un'implicazione un po' fuori posto qui o sbaglio?
(Ad esempio, preso [tex]$\varepsilon = 1$[/tex] si ha [tex]$|\sin x -\sin (x+450\pi )| = 0<\varepsilon$[/tex] e però [tex]$|x-(x+450\pi )|=450\pi >\varepsilon$[/tex].)

Verissimo, grazie per la segnalazione, mi era sfuggito. Ho corretto.
Grazie.