Continuità funzioni complesse

[Linux1987]

Salve qualcuno potrebbe spiegarmi perchè :
$ lim_(z->z_0) f(z)=f(z_0) harr lim_(\rho->0) f(z_0+\rho*e^(i*\theta))=f(z_0) $

[Zero87]

Andiamo per gradi, sai cos'è $\rho e^(i\theta)$?

[Linux1987]

si, deriva dalla formula di eulero ed è un modo per esprimero un numero complesso. ma non solo con esso può essere espresso anche un punto del piano avente distanza $\rho$ dall'origine

[Zero87]

Bene.

Ora, la definizione di continuità era
$lim_(z->z_0) f(z) =f(z_0)$
e fin qui è ok.

Se - come nel caso reale - si pone $z_1= z-z_0$ (in pratica sarebbe una specie di incremento) si ha
$lim_(z_1 -> 0) f(z_0 + z_1) = f(z_0)$

La seconda delle 2 espressioni tue non è altro che quella che ho scritto io in cui, però, $z_1$ è considerato in forma trigonometrica.

[size=85]Uhm... mi sa che non è un granché come spiegazione[/size]

[Linux1987]

ok chiaro , ma geometricamente cosa sta avvenendo??

[Zero87]

Geometricamente il senso è simile a quando nelle funzioni in 2 variabili fai il limite ponendo $y=mx$. In pratica dicendo
$lim_(\rho->0) f(z+\rho e^(i\theta)) =f(z)$,
vuol dire che fai il limite in un intorno circolare di $z$ (credo che si dica "disco" in analisi complessa). In altre parole vuol dire che da qualsiasi direzione ti avvicini al punto, la funzione deve tendere a $f(z)$.

E' matematica-maccheronica come spiegazione, però dovrebbe funzionare. Per formalizzazioni migliori passo la palla ad utenti più esperti.

[Seneca1]

Io porrei l'accento anche sul fatto che quel limite deve essere uniforme rispetto a $\theta$.

[Linux1987]

l'uniformità rispetto a $\theta$ sta ad indicare che una qualsiasi direzione si scelga nell'avvicinarsi a $z_0 $ deve comportare non solo l'esistenza del limite nel punto , ma anche che esso assuma lo stesso valore