Continuita' funzioni a piu' variabili
se ho una funzione a due variabili e voglio vedere se è continua in 00 ad esempio,allora studio il limite a destra e sinistra in alto e in basso ,lo studio anche lungo direzioni paraboliche ,ma come faccio ad essere sicuro che è continua in quel punto?basterebbe una delle infinite curve passanti per 00 aventi limite diverso per dare la discontinuita'?esiste un criterio per determinare allora la continuita'?
Risposte
Si, altrimenti non finiresti più.
Teorema Sia $f:A to RR$, $A sub RR^2$ aperto, e $(x_0,y_0)in A$. Allora $lim_((x,y)to(x_0,y_0))f(x,y)=l hArr lim_(rho to 0) f(x_0+rho cos theta, y_0+rho sin theta)=l$, uniformemente rispetto a $theta$.
Teorema Sia $f:A to RR$, $A sub RR^2$ aperto, e $(x_0,y_0)in A$. Allora $lim_((x,y)to(x_0,y_0))f(x,y)=l hArr lim_(rho to 0) f(x_0+rho cos theta, y_0+rho sin theta)=l$, uniformemente rispetto a $theta$.
già e non solo, esistono altri criteri... 
Certo, per esempio quando hai prodotti tra funzioni infinitesime per funzioni limitate.
Esempio: $f(x,y)=|x^2-y^2|mbox(arctan)1/(x^2+y^2)$.
Esempio: $f(x,y)=|x^2-y^2|mbox(arctan)1/(x^2+y^2)$.
una banalità: se vedi che una funzione è differenziabile, hai provato simultaneamente che è differenziabile e anche che è continua...
per vedere se è differenziabile faccio semplicemente la formula con il limite no?
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