Continuità Funzioni a due variabili
Ciao a tutti, non avendo ancora praticità e sicurezza con le funzioni a due variabili, potreste aiutarmi a correggere eventuali errori nel procedimento che ho usato per dimostrare la continuità?
Ecco il testo dell'esercizio:
Dire in quali punti di $R^2$ sono continue le seguenti funzioni:
$a)$ $f(x,y)={(sin(xy)/(|x|+|y|),: (x,y)!= 0),(0 ,: (x,y)= (0,0) ):}$
Essendo la funzione non definita nell'origine, la valuto in $(0,0)$ facendo il limite cioè
$lim_{(x,y)->(0,0)} sin(xy)/(|x|+|y|)$ che per mclaurin si riduce ad $lim_{(x,y)->(0,0)} (xy)/(|x|+|y|)$.
ora utilizzo il criterio del confronto tale che:
$ |xy|/(|x|+|y|)<= (|x| |y|) / (|x|)= |y| $ che per $(x,y)->(0,0)$ va a zero. Quindi f è continua dappertutto, anche nell'origine.
$b)$ $f(x,y)={(y/x^2,: x!= 0),(0 ,: x=0 ):}$
studio il limite in $(0,y_0)$
$lim_{(x,y)->(0,y_0)} y/x^2 =$ $\+infty$ se $y_0>0$ o $\-infty$ se $y_0<0$. Questo mi dice che la funzione non è continua in $x in 0 $. Ora controllo nell'origine : $lim_{(x,y)->(0,0)} y/x^2 $ restringo a $ f(x,0)= 0 $ e $f(0,y)= \infty$ Questo mi dice che la funzione non è continua anche nell'origine.
$c)$ $f(x,y)={( (ysinsqrt(x)) / (x^2+|y|),: x> 0 (y in R) ),(0 , ):}$ lo zero è definito altrove
Calcolo il limite, per la continuità: $lim_{(x,y)->(0,y_0)} (ysinsqrt(x)) / (x^2+|y|) $ cambio di variabile: $a=z , b=y-y_0$ tale che:
$lim_{(a,b)->(0,0)} ((b+y_0)sinsqrt(a)) / (a^2+|b+y_0|) $. Questa funzione è uguale a $ ( (b+y_0)sqrt(a) )/ (a^2+|b+y_0|)<= |(b+y_0)| |sqrta|/ (a^2+|b+y_0|)<=( |b+y_0| |sqrta|) / (b+y_0)$ che per $(a,b)-> (0,0)$ è uguale a zero. Pertanto f è continua.
$d)$ $f(x,y)=(arctan|xy|)/ sqrt(1+y^2)$
Funzione continua dappertutto in quanto rapporto di funzioni continue in $R^2$
$e)$ $f(x,y)=(2+x)^y$
Funzione continua perché composta da funzioni continue in $R^2$
Scusate la lunghezza del messaggio e l'ora
Ringrazio di cuore coloro che mi risponderanno!
Ecco il testo dell'esercizio:
Dire in quali punti di $R^2$ sono continue le seguenti funzioni:
$a)$ $f(x,y)={(sin(xy)/(|x|+|y|),: (x,y)!= 0),(0 ,: (x,y)= (0,0) ):}$
Essendo la funzione non definita nell'origine, la valuto in $(0,0)$ facendo il limite cioè
$lim_{(x,y)->(0,0)} sin(xy)/(|x|+|y|)$ che per mclaurin si riduce ad $lim_{(x,y)->(0,0)} (xy)/(|x|+|y|)$.
ora utilizzo il criterio del confronto tale che:
$ |xy|/(|x|+|y|)<= (|x| |y|) / (|x|)= |y| $ che per $(x,y)->(0,0)$ va a zero. Quindi f è continua dappertutto, anche nell'origine.
$b)$ $f(x,y)={(y/x^2,: x!= 0),(0 ,: x=0 ):}$
studio il limite in $(0,y_0)$
$lim_{(x,y)->(0,y_0)} y/x^2 =$ $\+infty$ se $y_0>0$ o $\-infty$ se $y_0<0$. Questo mi dice che la funzione non è continua in $x in 0 $. Ora controllo nell'origine : $lim_{(x,y)->(0,0)} y/x^2 $ restringo a $ f(x,0)= 0 $ e $f(0,y)= \infty$ Questo mi dice che la funzione non è continua anche nell'origine.
$c)$ $f(x,y)={( (ysinsqrt(x)) / (x^2+|y|),: x> 0 (y in R) ),(0 , ):}$ lo zero è definito altrove
Calcolo il limite, per la continuità: $lim_{(x,y)->(0,y_0)} (ysinsqrt(x)) / (x^2+|y|) $ cambio di variabile: $a=z , b=y-y_0$ tale che:
$lim_{(a,b)->(0,0)} ((b+y_0)sinsqrt(a)) / (a^2+|b+y_0|) $. Questa funzione è uguale a $ ( (b+y_0)sqrt(a) )/ (a^2+|b+y_0|)<= |(b+y_0)| |sqrta|/ (a^2+|b+y_0|)<=( |b+y_0| |sqrta|) / (b+y_0)$ che per $(a,b)-> (0,0)$ è uguale a zero. Pertanto f è continua.
$d)$ $f(x,y)=(arctan|xy|)/ sqrt(1+y^2)$
Funzione continua dappertutto in quanto rapporto di funzioni continue in $R^2$
$e)$ $f(x,y)=(2+x)^y$
Funzione continua perché composta da funzioni continue in $R^2$
Scusate la lunghezza del messaggio e l'ora
Ringrazio di cuore coloro che mi risponderanno!
Risposte
nessuno che mi possa aiutare a risolvere i dubbi? 
Nessuno nessuno? 
Nel primo esercizio, dovresti evitare lo sviluppo in serie (da maneggiare sempre con estrema cura). Tra l'altro, se vuoi ragionevolmente ridurti a:
$|xy|/(|x|+|y|)$
puoi sempre sostenere, più semplicemente, che esiste un intorno dell'origine nel quale:
$|sin(xy)/(|x|+|y|)|=|sin(xy)|/(|x|+|y|)=sin(|xy|)/(|x|+|y|) lt= |xy|/(|x|+|y|) lt= |y|$
$|xy|/(|x|+|y|)$
puoi sempre sostenere, più semplicemente, che esiste un intorno dell'origine nel quale:
$|sin(xy)/(|x|+|y|)|=|sin(xy)|/(|x|+|y|)=sin(|xy|)/(|x|+|y|) lt= |xy|/(|x|+|y|) lt= |y|$
Grazie mille per la risposta, Sergeant Elias!
Per il confronto , si ho saltato un po' di passaggi, scusami!
Per il resto, dici che può andare? Grazie ancora!
Per il confronto , si ho saltato un po' di passaggi, scusami!
Per il resto, dici che può andare? Grazie ancora!
Nel secondo esercizio, per usare un eufemismo, è lo studio della continuità nell'origine che lascia molto a desiderare. La scrittura $[f(0,y)=oo]$ non ha alcun senso, visto che la consegna prevede, esplicitamente, che $[f(0,y)=0]$. Ad ogni modo, se, per esempio, ti restringi alla bisettrice $[y=x]$, la dimostrazione è immediata.
Ok, va bene, ti ringrazio 
Nel terzo esercizio, è sufficiente studiare la continuità solo nell'origine e, più semplicemente:
$|(ysinsqrt(x))/(x^2+|y|)| lt= (|y|sqrt(x))/(x^2+|y|) lt= sqrtx$
$|(ysinsqrt(x))/(x^2+|y|)| lt= (|y|sqrt(x))/(x^2+|y|) lt= sqrtx$
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