Continuità funzione invertibile

[CarlCarl]

Ragazzi mi date un consiglio su come fare questo esercizio :
Sia f: $ RR -> RR $ una funzione invertibile. Se f è continua in $ RR \- { 0 } $ e limitata in un intorno di 0 allora f è continua su tutto $ RR $ .
Come faccio a dimostrarlo ?

[gugo82]

Idee tue?

[CarlCarl]

Non so proprio da dove partire ...
Se considero ad esempio f(x)= (x-1) se x< 0
0 se x= 0
(x+1) se x> 0
questa funzione è definita in $ RR $ , continua in $ RR - { 0 } $ , è invertibile e limitata in un intorno di 0.
Ma perchè dovrebbe essere continua anche in 0 ?

[dissonance]

Infatti non è continua. Ma neanche è invertibile come funzione di \(\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) perché non è surgettiva.

[gugo82]

Infatti non lo è.

Tuttavia credo che chi ha scritto l'esercizio pensasse a \(f(\mathbb{R})=\mathbb{R}\), ossia che \(f\) fosse suriettiva.

[CarlCarl]

Se prendo una funzione f(x): $ RR rarr RR $ , continua in $ RR -{ 0 } $ ad esempio :
f(x) = (x-c) se x< 0
0 se x= 0
(x+c) se x> 0
Questa funzione deve essere invertibile , per l'iniettività è ok ma per essere suriettiva deve essere c = 0 e quindi è continua anche in 0.
Così andrebbe bene ?

[gugo82]

Mica è una dimostrazione questa.
Hai solo trovato una funzione che soddisfa il teorema... Ma le altre?