Continuità funzione inversa
Dopo aver studiato il seguente teorema:
\(\displaystyle f:[a,b]\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) strettamente monotona crescente e continua in ogni punto di \(\displaystyle [a,b] \Rightarrow f^{-1}:[f(a), f(b)]\to\mathbb{R}\) strettamente monotona crescente e continua in ogni punto del suo dominio di definizione.
mi sono chiesto se potesse valere lo stesso anche quando il dominio di $f$ è un intervallo aperto \(\displaystyle (a,b) \).
Mi sembra che si possa semplicemente dimostrare così:
\(\displaystyle f:(a,b)\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) strettamente monotona crescente e continua in ogni punto di \(\displaystyle (a,b) \Rightarrow f|_{[\alpha,\beta]}\) strettamente monotona crescente e continua in ogni intervallo chiuso \(\displaystyle [\alpha,\beta]\subset (a,b) \).
Preso un generico \(\displaystyle y_0\in f((a,b)) \), corrispondente a \(\displaystyle x_0 \in (a,b) \), esistono due reali \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) tali che \(\displaystyle a<\alpha
Dunque, poiché \(\displaystyle y_0=f(x_0)\in [f(\alpha) , f(\beta) ] \), si ha che \(\displaystyle f^{-1}|_{[f(\alpha),f(\beta)]} \) è continua in \(\displaystyle y_0 \) e quindi anche \(\displaystyle f^{-1} \) è continua in $y_0$ poiché quest'ultimo è interno all'intervallo \(\displaystyle [f(\alpha),f(\beta)] \).
Per quanto riguarda in particolare l'ultima implicazione, non sarebbe stato possibile dire che "\(\displaystyle f^{-1} \) è continua in $y_0$" se $y_0$ fosse stato uno dei due estremi dell'intervallo chiuso.
Giusto?
Vi torna?
Grazie in anticipo.
\(\displaystyle f:[a,b]\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) strettamente monotona crescente e continua in ogni punto di \(\displaystyle [a,b] \Rightarrow f^{-1}:[f(a), f(b)]\to\mathbb{R}\) strettamente monotona crescente e continua in ogni punto del suo dominio di definizione.
mi sono chiesto se potesse valere lo stesso anche quando il dominio di $f$ è un intervallo aperto \(\displaystyle (a,b) \).
Mi sembra che si possa semplicemente dimostrare così:
\(\displaystyle f:(a,b)\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R} \) strettamente monotona crescente e continua in ogni punto di \(\displaystyle (a,b) \Rightarrow f|_{[\alpha,\beta]}\) strettamente monotona crescente e continua in ogni intervallo chiuso \(\displaystyle [\alpha,\beta]\subset (a,b) \).
Preso un generico \(\displaystyle y_0\in f((a,b)) \), corrispondente a \(\displaystyle x_0 \in (a,b) \), esistono due reali \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) tali che \(\displaystyle a<\alpha
Dunque, poiché \(\displaystyle y_0=f(x_0)\in [f(\alpha) , f(\beta) ] \), si ha che \(\displaystyle f^{-1}|_{[f(\alpha),f(\beta)]} \) è continua in \(\displaystyle y_0 \) e quindi anche \(\displaystyle f^{-1} \) è continua in $y_0$ poiché quest'ultimo è interno all'intervallo \(\displaystyle [f(\alpha),f(\beta)] \).
Per quanto riguarda in particolare l'ultima implicazione, non sarebbe stato possibile dire che "\(\displaystyle f^{-1} \) è continua in $y_0$" se $y_0$ fosse stato uno dei due estremi dell'intervallo chiuso.
Giusto?
Vi torna?
Grazie in anticipo.
Risposte
Tutto giusto.
T informo comunque che questo teorema è valido per qualsiasi intervallo di $RR$ al posto di $[a,b]$.
Lo puoi dimostrare nello stesso modo che hai già usato per il tuo caso, anche se esistono dimostrazioni che trattano tutti i casi contemporaneamente, non so se quella che hai studiato te va bene anche perché esistono altre dimostrazioni del fatto che hai enunciato che si rifanno ad altre idee che si possono generalizzare parecchio nel campo della topologia.
T informo comunque che questo teorema è valido per qualsiasi intervallo di $RR$ al posto di $[a,b]$.
Lo puoi dimostrare nello stesso modo che hai già usato per il tuo caso, anche se esistono dimostrazioni che trattano tutti i casi contemporaneamente, non so se quella che hai studiato te va bene anche perché esistono altre dimostrazioni del fatto che hai enunciato che si rifanno ad altre idee che si possono generalizzare parecchio nel campo della topologia.
Grazie mille.
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