Continuità Funzione in Due Variabili

[crazysilver]

Salve, qualcuno mi potrebbe illuminare sul limite da svolgere per questo esercizio ?

$ {( f(x,y) = (2x^2+y^2)log(sqrt(2x^2+y^2))) se (x,y) ≠ (0,0) $

$ 0 se (x,y) = (0,0) }$


Passando alle coordinate polari mi blocco non sapendo risolvere quel limite


Mi scuso per il cattivo uso delle formule (non sono riuscito a comporre il sistema)

[PadreBishop]

Ci fa solo a me, o nel tuo post non compare in nessuna parte l'operatore di limite?

[crazysilver]

Hai ragione ma credevo fosse scontato. Per vedere se la f è continua devo svolgere tale limite

$ lim_((x,y)->(0,0))(2x^2+y^2)log(sqrt(2x^2+y^2)) $


Passando alle coordinate polari ottengo ( dopo vari calcoli)

$ lim_(ρ->0)  ρ^2(2cos^2θ+sen^2θ)logρ(sqrt(2cos^2θ+sen^2θ)) $

Qui come svolgo il limite ? L'argomento del log non può essere minore o uguale di zero ma ρ tende proprio a 0

[PadreBishop]

Che succederebbe, qualora studiassi
$\lim_{ (z, y) \to (0,0) } f(z,y) $
dopo la trasformazione
$ \sqrt{2} x = z ?$

[crazysilver]

"PadreBishop":Che succederebbe, qualora studiassi
$\lim_{ (z, y) \to (0,0) } f(z,y) $
dopo la trasformazione
$ \sqrt{2} x = z ?$

In classe siamo soliti fare la sostituzione con le coordinate polari nel caso di limiti in due incognite. Ho aggiunto nel post precedente lo svolgimento.

[PadreBishop]

Intendevo utilizzare prima la trasformazione da me proposta, e poi le coordinate polari. Vedi cosa ne puo' usicre.

[crazysilver]

"PadreBishop":Intendevo utilizzare prima la trasformazione da me proposta, e poi le coordinate polari. Vedi cosa ne puo' usicre.

Mi ritroverei sempre

$ lim_(ρ->0)(logρ) $

quindi la situazione non è cambiata.

[PadreBishop]

"Kryos95":[quote="PadreBishop"]Intendevo utilizzare prima la trasformazione da me proposta, e poi le coordinate polari. Vedi cosa ne puo' usicre.

Mi ritroverei sempre

$ lim_(ρ->0)(logρ) $

quindi la situazione non è cambiata.[/quote]

A me sembra che con il cambio di variabili portatoci dalla Provvidenza Manzoniana, ti puoi ricondurre allo studio di

$ lim_(ρ->0, \rho >0) \rho^2 log \rho $

Ossia ti sei liberato dalla dipendenza dall'angolo, e ti sei trovato con un limite reale di variabile reale, che dovrebbe essere stato studiato approfonditamente in un corso di Analisi 1 (regola di L'Hopital). Che problema c'e' nel fare un limite nell'estremo dell'intervallo di definizione di una funzione? Che direbbero Bramanti, Pagani e Salsa?

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]