Continuità funzione in due variabili
Salve. L'esercizio mi chiede di dimostrare la continuità della seguente funzione: $f(x,y)=(xy^2)/(Sqrt(x^2+2y^2))$
Ho provato con le coordinate polari ma non ne vengo fuori, mi rimane (a meno di errori miei, possibilissimo
) una funzione in $p^2cos(§)$ che non riesco a minorare. Qualche suggerimento?
Ho provato con le coordinate polari ma non ne vengo fuori, mi rimane (a meno di errori miei, possibilissimo
) una funzione in $p^2cos(§)$ che non riesco a minorare. Qualche suggerimento?
Risposte
L'unico punto apparentemente singolare è l'origine. Per verificarvi il comportamento di $f$ puoi notare che
\begin{equation} \frac{xy^2}{\sqrt{x^2+2y^2}} = \frac{y^2}{\sqrt{1+2(y/x)^2}} \le y^2\end{equation}
A livello intuitivo (ossia non rigoroso), puoi farti un'idea osservando che per $\rho \rightarrow 0$ il numeratore è $O(\rho^3)$ mentre il denominatore è $O(\rho)$. Ma anche in coordinate polari potresti scrivere
\begin{equation} f = \frac{\rho^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{\sqrt{\rho^2 \cos^2 \theta +2\rho^2 \sin^2 \theta}} = \frac {\rho^2 \cos \theta \sin^2 \theta}{\sqrt{\cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta}} \end{equation}
Il denominatore non è mai nullo e il numeratore $\rightarrow 0$ per $\rho \rightarrow 0$.
\begin{equation} \frac{xy^2}{\sqrt{x^2+2y^2}} = \frac{y^2}{\sqrt{1+2(y/x)^2}} \le y^2\end{equation}
A livello intuitivo (ossia non rigoroso), puoi farti un'idea osservando che per $\rho \rightarrow 0$ il numeratore è $O(\rho^3)$ mentre il denominatore è $O(\rho)$. Ma anche in coordinate polari potresti scrivere
\begin{equation} f = \frac{\rho^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{\sqrt{\rho^2 \cos^2 \theta +2\rho^2 \sin^2 \theta}} = \frac {\rho^2 \cos \theta \sin^2 \theta}{\sqrt{\cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta}} \end{equation}
Il denominatore non è mai nullo e il numeratore $\rightarrow 0$ per $\rho \rightarrow 0$.
\[ \begin{equation} \frac{-3y^2(log{1-x)}{(x^2+y^2)^\alpha} \end{equation} \]
Mm ok, il punto è che il nostro docente ci ha sempre detto che in coordinate polari bisogna portare la $f$ in funzione della sola $\rho$
Ora invece ho quest'altra: $f(x,y)= \frac{-3y^2(log(1-x))}{(x^2+y^2)^ \alpha }$ di cui devo determinare il parametro $\alpha$ affinché prima sia continua, poi differenziabile. Senza coordinate polari mi sento perso
"Cmax":
L'unico punto apparentemente singolare è l'origine. Per verificarvi il comportamento di $f$ puoi notare che
\begin{equation} \frac{xy^2}{\sqrt{x^2+2y^2}} = \frac{y^2}{\sqrt{1+2(y/x)^2}} \le y^2\end{equation}
A livello intuitivo (ossia non rigoroso), puoi farti un'idea osservando che per $\rho \rightarrow 0$ il numeratore è $O(\rho^3)$ mentre il denominatore è $O(\rho)$. Ma anche in coordinate polari potresti scrivere
\begin{equation} f = \frac{\rho^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{\sqrt{\rho^2 \cos^2 \theta +2\rho^2 \sin^2 \theta}} = \frac {\rho^2 \cos \theta \sin^2 \theta}{\sqrt{\cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta}} \end{equation}
Il denominatore non è mai nullo e il numeratore $\rightarrow 0$ per $\rho \rightarrow 0$.
Mm ok, il punto è che il nostro docente ci ha sempre detto che in coordinate polari bisogna portare la $f$ in funzione della sola $\rho$
Ora invece ho quest'altra: $f(x,y)= \frac{-3y^2(log(1-x))}{(x^2+y^2)^ \alpha }$ di cui devo determinare il parametro $\alpha$ affinché prima sia continua, poi differenziabile. Senza coordinate polari mi sento perso
il nostro docente ci ha sempre detto che in coordinate polari bisogna portare la $f$ in funzione della sola $\rho$
Mi devi perdonare, ma ritengo più probabile che il docente abbia detto che in certi casi (non sempre) in un intorno dell'origine sia sufficiente esaminare il comportamento della sola $\rho$, e niente impedisce di usare le coordinate polari.
In questo caso ricordiamo che $\ln(1-x) = - x + O(x^2)$. In coordinate polari puoi scrivere, in un intorno dell'origine,
$$ f = \frac{-3\rho^2 \sin^2 \theta (-\rho \cos \theta + O(\rho^2))}{\rho^{2 \alpha}}=3\rho^{3-2\alpha} \sin^2 \theta \cos \theta + O(\rho^{4-2\alpha})$$
e distinguere i vari casi sull'esponente $3-2\alpha$.
"Cmax":il nostro docente ci ha sempre detto che in coordinate polari bisogna portare la $f$ in funzione della sola $\rho$
Mi devi perdonare, ma ritengo più probabile che il docente abbia detto che in certi casi (non sempre) in un intorno dell'origine sia sufficiente esaminare il comportamento della sola $\rho$, e niente impedisce di usare le coordinate polari.
In questo caso ricordiamo che $\ln(1-x) = - x + O(x^2)$. In coordinate polari puoi scrivere, in un intorno dell'origine,
$$ f = \frac{-3\rho^2 \sin^2 \theta (-\rho \cos \theta + O(\rho^2))}{\rho^{2 \alpha}}=3\rho^{3-2\alpha} \sin^2 \theta \cos \theta + O(\rho^{4-2\alpha})$$
e distinguere i vari casi sull'esponente $3-2\alpha$.
Ah ecco, avevo sviluppato non so perché (più volte per controllare anche
) come $log(1-x) =- 1/x+1/x^2+o(1/x^2)$Ora viene come dovrebbe, grazie
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